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《性代数同解与公共解问题分析1》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、◇张宇考研数学辅导系列◇◇张宇编讲◇方程组同解理论及其应用（注意课上怎样讲，怎样用）⎛⎞A（1）n元齐次线性方程组（I）AX=0和（II）BX=0同解⇔==rr⎜⎟()()ArB.⎝⎠B【分析与证明】1）先弄清楚什么叫两个方程组同解？同解就是说，我的解都是你的解，你的解也都是我的解，我们俩同解。好，下面开始证明。⎛⎞A⎛⎞A若（II）的解都是（I）的解，则⎜⎟X=0与BX=0同解⇒=rr⎜⎟()B⎝⎠B⎝⎠B⎛⎞A⎛⎞A若（I）的解都是（II）的解，则⎜⎟X=0与AX=0同解⇒=rr⎜⎟()A⎝⎠B⎝
2、⎠B⎛⎞A故，（I）AX=0和（II）BX=0同解⇒==rr⎜⎟()()ArB.⎝⎠B2）⎧⎛⎞AA⎛⎞⎪rr⎜⎟=⇒()Bn−=rn⎜⎟−r()B,即两方程组基础解系中所含向量的个数相同⎪⎝⎠BB⎝⎠⎨⎪⎛⎞AA⎛⎞⎜⎟XB==00的解一定是X的解,即BX=0的基础解系可以表示⎜⎟X=0的解⎩⎪⎝⎠BB⎝⎠⎛⎞A⇒==⎜⎟XB00与X的基础解系等价（这个过程的严格证明请看下面的【注】）⎝⎠B⎛⎞A⇒==⎜⎟XB00与同X解.⎝⎠B⎛⎞A⎛⎞A同理，可得rr⎜⎟=()A时，⎜⎟XA==00与同X解.⎝
3、⎠B⎝⎠B故，AX=0和BX=0同解.【注】这里有个重要问题需要做详细解释和严格证明。【例】设向量组（I）与向量组（II），若（I）可由（II）线性表示，且rr(I)==(II)r，证明(I)与(II)等价.【证】设(I)的一个极大无关组为ξ,,,ξξ?，(II)的一个极大无关组为ηηη,,?.12r1,2r因为()I可由()II表示，即ξ,,,ξ?ξ可由ηη,,?η线性表示，于是12r1,2rrr(,,,,,,)(,,)ξξξ??ηηηη=ηη?=r12rr1,21,2r◇张宇考研数学辅导系列◇◇张
4、宇编讲◇又ξ,,,ξ?ξ线性无关，则ξ,,,ξ?ξ也可作为ξ,,,,,,ξξ??ηηη的一个12r12r12rr1,2极大无关组，于是ηη,,?η也可由ξ,,ξ?,ξ表示，即1,2r12r()II也可由()I表示，得证.（2）n元非齐次线性方程组（I）AX=β和（II）BX=γ都有解，则其同解⎛⎞Aβ⇔=rr⎜⎟()()A=rB.⎝⎠Bγ本定理的证明方法与（1）类似，只要注意有解时rA(βγ)==rArB(),()rB()【例】（05）已知齐次方程组⎧xxx++=230123⎪⎧xb++=xcx012
5、3（和II）（⎨⎨2350xxx++=I）1232⎪⎩21xbxcx12+++=()30⎩xxa++=x0123同解，求abc,,.【分析与解】本题是2005年的考试真题，如果没有系统的方程组同解理论的基础，按照常规思路，这个题目的解题程序为：由rArB()()2==⇒a⇒方程组（I）的解，代入方程组（II）⇒bc,；我们通过简单观察，可知两个方程组系数矩阵的秩rArB()()2==，并由前述定理，⎛⎞A得rr⎜⎟===()()ArB2⎝⎠B⎡⎤123⎡123⎤⎡123⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥2350−−110
6、1−−1⎡⎤A⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥11aa⎢0−−13⎥→⎢00a−2⎥,⎣⎦B⎢⎥⎢⎥⎢⎥10bcbc−−2300cb−−1⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦21bc22+−⎢⎣0b4c−5⎥⎦⎢⎣00cb−2−1⎥⎦⇒=abc2,=1,=2.【例】（98）已知方程组⎧xm+−−=xxx−5⎧xxx+−=26−1234124⎪⎪（I）⎨nx−−=−x21x1;（II）⎨41xxxx−−−=2341234⎪⎪⎩xxt−=21−⎩33xxx−−=34123◇张宇考研数学辅导系列◇◇张宇编讲◇同解，求mnt,,.【
7、提示】(注意我们排列矩阵中各行各列的顺序，便于做初等变换)⎡⎤143100⎡143100⎤⎢⎥⎢⎥111−−mm0011111−⎛⎞BA⎢⎥⎢⎥⎜⎟=→⎢⎥011111−−−−⎢001695−⎥,⎝⎠γβ⎢⎥⎢⎥−−210122−−−000mn−−240⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦−−61351−11−tt⎢⎣00000−6⎥⎦⇒=mnt2,=4,=6.方程组非零公共解理论及其应用（注意课上怎样讲，怎样用）n元齐次线性方程组（I）AX=0和（II）BX=0有非零公共解可以分为以下三种形式命题：1）给出AX=0系数
8、矩阵A的具体形式（数字型），BX=0系数矩阵B的具体形式（数字型），则联立求解即可，且，⎛⎞A（I）AX=0和（II）BX=0有非零公共解⇔rn⎜⎟<.⎝⎠B2）给出AX=0系数矩阵A的具体形式（数字型），BX=0的基础解系η，，ηη⋅⋅⋅，则12s（I）AX=0和（II）BX=0有非零公共解⇔AAη,,,ηη⋅⋅⋅A线性相关12s【证明】AX=0和BX=0有非零公共解⇔∃kk,,?k不全为零，使得Ak()η+kηη+=?k012s1122ss⇔∃kk,
