方程的同解性和非同解性辨析-论文.pdf

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1、投稿邮箱院sxjk@vip.163.com数学教学通讯（中等教育）试题研究>解题技巧方程的同解性和非同解性辨析宋扬江苏扬州市田家炳实验中学225002谊摘要院解方程的问题袁就是要把已知方程通过变形转化为最简方程袁但在变形过程中袁有时可能为同解变中形袁有时可能为非同解变形袁本文就方程的同解性和非同解性做重点探讨和理论研究援等教育关键词院同解变形曰非同解变形曰检验曰同解理论解方程是由已知探究未知的重要变换得到最简方程袁这样最简方程与原逆变换）援方法援解决实际问题时列出方程后袁求方程是同解的援若是由原方程经过不可在解方程的过

2、程中袁有时需要在方出方程的正确的解就成了首要问题援在逆变换得到的最简方程袁即若f渊x冤=g渊x冤程的一侧（或在方程的两侧）分别进行解方程的变形过程中袁有时得到的最简圯x=a袁b袁c袁噎袁而不能倒推回去袁那只能恒等变形袁只要方程的定义域不发生变方程与原方程的解集相同袁有时得到的说后者是前者的结果袁这时必须经过检化袁那么变形后所得新方程与原方程是解集不同袁这都需要方程的同解性和非验袁将求出的数一个个加以检验袁看是同解的援同解性理论为其提供有力的依据援否为原方程的解援同解定理1方程f渊x冤=g渊x冤渊1冤与到底哪些变换是可逆

3、的钥即经过哪方程h渊x冤=k渊x冤渊2冤袁其中f渊x冤以g渊x冤袁些变换得到的方程与原方程是同解的钥g渊x冤以k渊x冤援如果方程渊1冤渊2冤有相同的襛方程的同解概念前面的例题给了我们一个启示院在方程定义域M袁那么方程渊1冤与渊2冤同解援1援同解概念的引入的两边加上同一个数得到的方程与原它的特殊情形是仅对方程的某一侧先看一个实例袁解方程2x+5=3袁第方程是同解的曰在方程的两边同乘以一进行恒等变形（两方程的定义域要求相一步推导过程院若2x+5=3成立圯2x=-2个不为零的数得到的方程是和原方程同）援由于整式方程的定义域是

4、全体实圯x=-1曰第二步推导过程院若x=-1成立同解的袁等等援下面我们将这些内容抽数袁而经过去符号尧合并同类项等恒等变圯2x=-2圯2x+5=3袁明显可以看出袁这里象出来作为定理袁以后遇到这种变换就形所得的新方程袁其定义域没有发生变每一步推导都是可逆的援对于野推导的可以直接去解袁以免每解一个方程都要化袁则得到的新方程与原方程是同解的援每一步都可逆冶这种可逆性（一种等价去证明其可逆性援同解定理2方程f1渊x冤=f2渊x冤渊1冤与关系）袁称为同解援方程cf1渊x冤=cf2渊x冤渊2冤同解袁其中c屹0援2援同解方程的定义这里

5、的c屹0条件不可缺少援因为定义1方程f渊x冤=g渊x冤渊1冤与方程襛方程的同解变形c屹0袁才可以将渊2冤的两边同乘1/c变成f1渊x冤=g1渊x冤渊2冤袁若渊1冤的解是渊2冤的解袁为了叙述方便袁先给出两个定义院渊1冤袁从而变换是可逆的援若c=0袁则变换则方程渊2冤称为方程渊1冤的结果方程袁简定义3把一个解析式变换成另一不是可逆变换袁两个方程就不同解了袁称结果援个与它恒等的解析式（即原定义域不发解分式方程和无理方程时袁可能会遇见例题中方程x=-1是方程2x+5=3的生变化）袁称为第一类的恒等变形援把一这种情况援比同解定理

6、2更一般的情况结果曰方程2x+5=3是方程x=-1的结果袁个解析式变成另一个与它条件恒等的有如下定理援可以说方程2x+5=3与方程x=-1互为结解析式（即原定义域已发生变化，在两同解定理2忆方程f1渊x冤=f2渊x冤渊1冤与果袁这样的两个方程称为同解方程援个解析式的公共定义域内恒等）袁称为方程f1渊x冤h渊x冤=f2渊x冤h渊x冤渊2冤同解袁其中定义2若方程渊2冤是方程渊1冤的结第二类的恒等变形援这两类变形统称为h渊x冤对于方程渊1冤的定义域内的值都有果袁且方程渊1冤是方程渊2冤的结果袁则方恒等变形援意义袁且h渊x冤屹

7、0援程渊1冤和渊2冤称为同解方程袁简称同解援定义4把一个方程变换成与它同同解定理3方程f渊x冤=g渊x冤渊1冤与由上述定义可知袁原方程经过可逆解的方程袁称为方程的同解变形（即可方程f渊x冤+h渊x冤=g渊x冤+h渊x冤渊2冤同解袁其57试题研究>解题技巧数学教学通讯（中等教育）投稿邮箱院sxjk@vip.163.com中h渊x冤为一整式援配方法和因式分解法更是如此袁也就没况下袁方程渊1冤与方程渊2冤也不同解袁原若所加的h渊x冤不是整式袁就不能保有提出检验的必要袁整式方程（含一元x2原x+4因是定义域有了变化援如解方程=

8、x2+x+4证所得的方程与原方程同解了援如院方高次方程）都是如此援x+32x2+84x+6程x+1=3的解是x=2袁若方程的两侧同加然而袁在解其他类型的方程袁如分袁由合分比定理得袁=袁22式方程尧无理方程时袁出现的情况往往3x+3原2x原2x一个分式x+1+=3+袁显然x=2不则x2原2x+1=0袁x=x=1袁在变形中失去了x原2