恒等变形与同解变形

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1、恒等变形与同解变形容易看出m+2m-3m=(1+2-3)m是一个恒等式，也就是说，把式子m+2m-3m改变为（1＋2-3）m的这步变形，使变形前后的两个式子恒等，我们把这样的变形叫做恒等变形，我们通常所做的数、式运算都是恒等变形。例如2×3=6，2（a＋1）＝2a＋2中，从等式左边到等式右边的变形都是恒等变形。了解到数、式运算的这个特点，就可以利用特殊值代入法来检查运算结果是否有误。假定计算2(a+l)得到2a+1。把a=0代入2(a+1)，得结果2；把a=0代入2a+1，得结果1。如果计算正确，把

2、a=0代入2(a+1)，2a＋1所得的结果应该相同，这说明运算有误。运用这种方法时需要注意，把一个特殊值代入变形前后的式子，如果两个式子的值不相同，我们就可以判定变形有误；如果两个式子的值相同，也不能肯定变形正确。例如，假定计算2（1+x）得到2＋x，把x=0代入2(1＋x)，得结果2；把x=0代入2＋x，也得结果2。但由此并不能肯定运算正确，因为由2(1+x)得2+x实际上是错的（换一个数，比如把x=-1分别代入，就可以看出结果不同）。判断两个一元多项式f(x)，g(x)是否恒等，可用下面的结论：

3、如果f(x)，g(x)是n次多项式，并且有n＋l个值使f(x)=g(x)，那么f(x)与g(x)恒等。其原因是一元n次方程最多有n个根。我们用上述结论来看下面的变形。因为当x=a，x=b时，都有两边的值相等，我们就可以断定上述变形正确。总之，进行数、式运算时，要保证每一步都是恒等变形。而解方程时，则要保证每一步都是同解变形，也就是保证变形前后的两个方程是同解方程。由方程同解原理可知：方程两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得方程与原方程是同解方程。方程两边都乘以（或除以）不等于0的同一个数，

4、所得方程与原方程是同解方程。也就是说，方程两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，方程两边都乘以（或除以）不等于0的同一个数，都是同解变形。关于同解变形，下面作几点说明。1．方程两边都加上（或减去）同一个分式不是同解变形。例如在方程3x=2x-1的两边都加上得。可以得出，x=-1是方程3x=2x-1的解。而方程无解。所以方程两边都加上(或减去)同一个分式不是同解变形。2.方程两边都加上(或减去)同一个二次根式不是同解变形。例如在方程3x=2x-1的两边都加上得3x+=2x-1+可以得出x=-1是方

5、程3x=2x-1的解，而方程3x+=2x-1+无解。所以方程两边都加上(或减去)同一个二次根式不是同解变形。3.方程两边都乘以0不是同解变形。例如在方程4x=1的两边都乘以0，得0·4x=0。可以得出，x=-1是方程4x=1的解，而方程0·4x=0。有无数多个解。所以方程两边都乘以0不是同解变形。4.方程两边都乘以(或除以)同一个整式不是同解变形。例如在方程3x=2x-1。的两边都乘以x,得。可以看出，方程3x=2x-1的解是x=-1，方程的解是。所以方程两边都乘以(或除以)同一个整式不是同解变形。

6、5.方程两边开平方不是同解变形。例如方程2x=1两边平方，得4x2=1。可以看出，方程2x=1的解是，方程4x2=1的解是。所以方程两边平方不是同解变形。6.方程两边平方不是同解变形。将方程3x=2x-1两边开平方，得。可以看出，方程3x=2x-1的解是x=-1，方程无解。所以方程两边开平方不是同解变形。