n-李代数的可解性与幂零性

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1、第25卷第5期唐山师范学院学报2003年9月Vol.25No.5JournalofTangshanTeachersCollegeSep.2003n-李代数的可解性与幂零性阎满富，陈景林（唐山师范学院数学系，河北唐山063000）摘要：给出n-李代数次理想的概念，证明幂零n-李代数的子代数都是次理想；n-李代数的次理想与其导代数相等时必为理想；n-李代数L的每个子代数都是次理想时，L必可解等重要结果。从而给出了n-李代数的可解性与幂零性的关系。关键词：n-李代数；子代数；可解n-李代数；幂零n-李

2、代数中图分类号：O152.5文献标识码：A文章编号：1009-9115（2003）05-0001-04引子[1][2]1985年V.T.Filiprov给出了n-李代数的概念，1987年S.M.Kasymov对n-李代数作了进一步的讨论。本文在原有的基础上，把李代数次理想的概念推广到n-李代数，研究了n-李代数的可解性和幂零性及其次理想的关系，给出了幂零n-李代数的子代数都是次理想；n-李代数L的每个子代数都是次理想时，L必可解等重要结果；从而给出了n-李代数的可解性与幂零性的关系。基本概念定义

3、1设F是特征为零的域，L是域F的有限维向量空间，称L为域F上的n-李代数，若有L×L×…×L到L的映射：（x1,x2,,xn）→[x1,x2,,xn]（称为括积运算），满足下列三个条件：（1）此括积运算是n-线性的，即x1,x2,,xn，yL，1≤i≤n，a，bF，有[x1,x2,,xi1,axiby,xi1,,xn]=a[x1,x2,,xi1,xi,xi1,,xn]+b[x1,x2,,xi1,y,xi1,,xn]；()（2）[x1,x2,,xn]=(

4、1)[x(1),x(2),,x(n)]，Sn（Sn为n阶置换群），为偶置换时，()=0，为奇置换时，()=1；n（3）[[x1,x2,,xn]，y2,,yn]=[x1,x2,,xi1,[xi,y2,,yn],xi1,,xn]。i1在下文中，如无特别说明，L都表示特征为零的域F上有限维n-李代数，并设Li（i1,2,,r）是L的非空子集，以L1L2Lr表示由{x1x2xrxiLi，i1,2,,r}张成的子空间。定义2L的子空间A

5、称为L的子代数，记作A＜L，如果[A,A,,A]A。11L=[L,L,,L]称为L的导代数。L=0时，称L为交换的。定义3L的子空间I称为L的理想，记作IL，如果[I,L,L,,L]I。显然理想是子代数。──────────收稿日期：2003-04-02作者简介：阎满富（1958-），男，河北唐山人，唐山师范学院数学系教授。-1-第25卷第5期唐山师范学院学报2003年第5期定义4L的子代数A称为L的次理想，记作AL，如果有L的子代数链A=A0A1ArL，即Ai1是A

6、i的理想，i1,2,,r。(0)(s1)(s)(s)(s)(r)定义5L称为可解李代数，如果LL，L[L,L,,L]，s≥0。存在自然数r，使L0。L的子代数I称为L的可解理想，如果I是L的可解子代数且I是L的理想。可以证明n-李代数L的两个可解理想之和仍为可解理想（见文献[1]Sec.2），从而L有唯一的包含任何可解理想的极大可解理想，称为L的可解根基，记作S(L)。(0)s1sr定义6L称为幂零李代数，如果令LL，L[L,L,L,,L]，s≥0。存在自然数r，使L0，

7、L的子代数I称为L的幂零理想，如果I是L的幂零子代数且I是L的理想。定义7设L，L是特征为零的域F上的两个n-李代数，L到L的线性映射称为同态映射，如果[x1,x2,,xn]=[(x1),(x2),,(xn)]，x1,x2,,xnL。若还是满映射，称为满同态。定义8L的线性变换D称为L的导子，如果nD[x1,x2,,xn]=[x1,,xi1,Dxi,xi1,,xn]，x1,x2,,xnL。i1L的所有导子集合记为D(L)。引理1设D为n-李代数L的导子

8、，I是L的理想，则（1）DS(L)S(L)；（2）S(I)S(L)I。证明见文献[1]的Theorem1。引理2若A为L的可解次理想，即A是L的可解子代数且AL，则AS(L)。证明由于AL，所以存在L的子代数链A=A0A1Ar=L。设Si为Ai的可解根基，又A是L的可解子代数，且A是A1的理想，即A是A1的可解理想，从而AS1。因为AiAi1，由引理1的（2）式有Si=S(Ai1)Ai，即S(Ai)=Si1Ai。从而SiSi1，i1,2,,r1，于