毕业论文-等价关系在不同数学分支中的若干应用开题报告

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1、中国计量学院毕业设计（论文）开题报告学生姓名：仇锦波学号：1200801210专业：信息与计算科学班级：12信算2设计（论文）题目：等价关系在不同数学分支中的若干应用指导教师：陈琴二级学院：理学院2016年3月18日一、研究背景及现状等价关系作为集合元素间的一种特殊的二元关系，在数学中占有很重要的地位，用它可对研究的客体进行分类，对各个部分的研究而达到对整体的研究，在大学数学多门分支课程中都有广泛应用，例如：高等代数中矩阵的等价、相似、合同概念，数学分析中等价无穷小的概念，近世代数中集合的分类，离散数学中的集合等式、图论连通关系等等。我们首先给出等价关系的相关定义：定义

2、1设A和B是任意两个集合，直积ABx,y

3、xAyB的子集R叫做从A到B的关系。当A=B时，称R为集合A上的二元关系，若x与y有关系R，记成xRy；若x与y没有关系R，记成xRy。定义2设R为非空集合A上的二元关系，如果R满足自反性、对称性和传递性，则称R为A上的等价关系。（1）、自反性：对于xA，都有xRx；（2）、对称性：对于x,yA，若xRy,则yRx；（3）、传递性：对于x,y,zA，若xRy，yRz，则xRz。等价关系在不同的数学分支中都有不同的引用定义，下面我主要介绍在几门数学分支课程中等价关系的应用。1、离散数学中的等价

4、关系离散数学是计算机专业的重要基础课程和核心课程，等价关系是离散数学中非常重要的内容之一。基于等价关系的定义，在离散数学中有以下定义。定义1.1设R为非空集合A上的等价关系，对于xA，令xy

5、yAxRy，R则称x为x关于R的等价类，简称x。R定义1.2设R为非空集合A上的等价关系，以R的所有等价类作元素的集合称为A关于R的商集，记为A/R，即A/Rx

6、xA。R离散数学课程中各部分具体的等价关系如下：数理逻辑中，命题公式A和B等值（记为AB）是指由它们构成的等价式AB为永真式。命题公式的等值关系就是建立在由所有命题公式构成的集合上

7、的一种等价关系，这种等价关系将所有命题公式按其是否等值划分成若干个等价类，属于同一个等价类中的命题公式彼此等值。集合论中，集合A和B的等1式是指从A到B存在一个双射函数即集合A中的元素与集合B中的元素存在一一对应。集合的等式关系显然是建立在所有集合作元素构成的集合上的一个等价关系。图论中的无向图中的点与点之间的连通关系、代数系统的同构关系等都是一种等价关系。总结上述等价关系的描述，我们可以看出，等价关系实质上是对相应集合中的具有同一性的对象即具有共性特征的对象的一种抽象，从认识论的角度看，这符合从特殊到一般的认识规律。2、集合划分中的等价关系等价关系在集合划分中有如下定

8、理。引理2.1非空集合X上的等价关系R所诱导的等价类的集合x

9、xX亦即XR关于R的商集构成X的一个划分。引理2.2集合X上的一个划分可以产生一个等价关系，即划分AA,A,,A可以产生等价关系KAAAAAA。12m1122mm3、高等代数中的等价关系高等代数中的等价关系我们主要讨论的是矩阵的等价关系，其中我们又可以细分为矩阵的等价、相似和合同三种等价关系。定义3.1设A和B都是数域P上的nm矩阵，如果B可以由A经过一系列初等变换得到，则称A与B等价，记为AB。由定义不难看出，A和B的行数和列数以及秩分别相等，所以我们有如下

10、定理。-1定义3.2对于n阶方阵A和B，若存在可逆矩阵T,使得BTAT，则称A与B相似，记为A~B。由以上定义可以证明矩阵的相似是一种等价关系。定义3.3对于n阶方阵A和B，若存在可逆矩阵T,使得BTAT，则称A在P上合同于B。合同是矩阵之间的一个关系。不难看出，合同关系具有（1）、反身性：AEAE；-1-1（2）、对称性：由BTAT即得ATBT；（3）、传递性：由BTAT和CTBT即得CTTATT。11221212根据等价关系的基本概念，我们用矩阵来定义等价关系。定义3.4给定集合Aa,a,,a和Bb,b,,b

11、及一个A到B的关系R，12m12n2令1,如果aRbijrij，其中aiA，bjB，0,如果aiRbj则称矩阵Mr是关系R的关系矩阵。Rijmn由于关系R为等价关系的充要条件是R满足自反性、对称性和传递性，由矩阵M表示则有以下定理：定理3.5关系R为等价关系的充要条件是R的关系矩阵Mr满足以下条件：Rij（1）、自反性：r1,i1,2,,n；ii（2）、对称性：Mr是对称矩阵；Rij（3）、传递性：若r1且r1,则r1。ijikjk等价关系R的关系矩阵Mr是一个等价关系矩阵。Rij4、