5-1数列的概念和几种简单的表示方法

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1、第5模块第1节[知能演练]一、选择题1．已知数列{an}的通项公式是an＝，那么这个数列是(　　)A．递增数列B．递减数列C．摆动数列D．常数列解法一：∵an＋1－an＝－＝>0，∴an＋1>an，数列{an}为递增数列．解法二：研究函数f(x)＝(x>0)的单调性，f(x)＝＝＝－，∴f(x)＝在(0，＋∞)上单调递增，∴f(n＋1)>f(n)，故an＋1>an，数列{an}为递增数列．答案：A2．数列{an}中，a1＝1，对于所有的n≥2，n∈N*，都有a1·a2·a3·…·an＝n2，则a3＋

2、a5等于(　　)A.B.C.D.解法一：由已知得a1·a2＝22，∴a2＝4.a1·a2·a3＝32，∴a3＝，a1·a2·a3·a4＝42，∴a4＝，a1·a2·a3·a4·a5＝52，∴a5＝.∴a3＋a5＝＋＝.解法二：由a1·a2·a3·…·an＝n2，得a1·a2·a3·…·an－1＝(n－1)2，∴an＝()2(n≥2)，∴a3＋a5＝()2＋()2＝.答案：A3．若数列{an}的通项公式an＝，记f(n)＝2(1－a1)·(1－a2)…(1－an)，试通过计算f(1)，f(2)，f(3

3、)的值，推测出f(n)为(　　)A.B.C.D.解析：f(1)＝2(1－a1)＝＝，f(2)＝2(1－)(1－)＝＝，f(3)＝2(1－a1)(1－a2)(1－a3)＝2(1－)(1－)(1－)＝＝，可猜测f(n)＝.答案：C4．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足5

4、，∴k＝8.答案：B二、填空题5．数列{an}满足an＋1＝a1＝，则数列的第2008项为________．解析：∵a1＝，∴a2＝2a1－1＝，∴a3＝2a2＝，∴a4＝2a3＝，a5＝2a4－1＝，a6＝2a5－1＝…，∴该数列的周期为T＝4.∴a2008＝a4＝.答案：6．已知数列{an}中，a1＝1，(n＋1)an＝nan＋1，则数列{an}的一个通项公式an＝________.解法一：由a1＝1，(n＋1)an＝nan＋1，可得a2＝2，a3＝3，a4＝4，∴数列的通项公式an＝n.验证：

5、当an＝n时，(n＋1)an＝nan＋1成立．解法二：由(n＋1)an＝nan＋1可得＝.∴当n≥2时，＝，＝，…，＝，＝2.将以上各式累乘求得＝n，∴an＝n，而n＝1时也适合．∴数列的通项公式为an＝n.答案：n三、解答题7．已知数列{an}的前n项和为Sn，满足log2(1＋Sn)＝n＋1，求数列的通项公式．解：Sn满足log2(1＋Sn)＝n＋1，∴1＋Sn＝2n＋1，∴Sn＝2n＋1－1.∴a1＝3，an＝Sn－Sn－1＝(2n＋1－1)－(2n－1)＝2n(n≥2)，∴{an}的通项公式

6、为an＝8．在数列{an}中，a1＝，an＝1－(n≥2，n∈N*)，数列{an}的前n项和为Sn.(1)求证：an＋3＝an；(2)求a2008.(1)证明：an＋3＝1－＝1－＝1－＝1－＝1－＝1－＝1－＝1－(1－an)＝an.∴an＋3＝an.(2)解：由(1)知数列{an}的周期T＝3，a1＝，a2＝－1，a3＝2.又∵a2008＝a3×669＋1＝a1＝.∴a2008＝.[高考·模拟·预测]1．(2009·佛山一模)记数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2(an－1)，则a2＝(　　

7、)A．4B．2C．1D．－2解析：取n＝1得a1＝2(a1－1)，所以a1＝2，再由n＝2得2＋a2＝2(a2－1)，所以a2＝4.答案：A2．(2009·沈阳监测二)在数列{an}中，若a1＝1,3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2，n∈N*)，则通项an是(　　)A.B.C.D.解析：将3anan－1＋an－an－1＝0的两边同时除以anan－1(anan－1≠0)得：3＋－＝0，－＝3，故数列{}是首项为1，公差为3的等差数列，＝＋(n－1)×3＝3n－2，故通项an＝.答案：D3．(2

8、009·深圳二调)已知数列{an}的前n项和Sn＝n(20－n)，则当anan＋1<0时，n＝________.解析：由Sn＝n(20－n)得，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n(20－n)－(n－1)[20－(n－1)]＝－2n＋21；当n＝1时，a1＝S1＝1×(20－1)＝19＝－2×1＋21.故数列{an}的通项公式为an＝－2n＋21.由an·an＋1＝(－2n＋21)[－2(n＋1)＋21]＝(－2n＋21)(－2n＋19)<0⇔