5-1数列的概念和几种简单的表示方法

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1、第5模块第1节[知能演练]一、选择题1.已知数列{an}的通项公式是an=,那么这个数列是(  )A.递增数列B.递减数列C.摆动数列D.常数列解法一:∵an+1-an=-=>0,∴an+1>an,数列{an}为递增数列.解法二:研究函数f(x)=(x>0)的单调性,f(x)===-,∴f(x)=在(0,+∞)上单调递增,∴f(n+1)>f(n),故an+1>an,数列{an}为递增数列.答案:A2.数列{an}中,a1=1,对于所有的n≥2,n∈N*,都有a1·a2·a3·…·an=n2,则a3+

2、a5等于(  )A.B.C.D.解法一:由已知得a1·a2=22,∴a2=4.a1·a2·a3=32,∴a3=,a1·a2·a3·a4=42,∴a4=,a1·a2·a3·a4·a5=52,∴a5=.∴a3+a5=+=.解法二:由a1·a2·a3·…·an=n2,得a1·a2·a3·…·an-1=(n-1)2,∴an=()2(n≥2),∴a3+a5=()2+()2=.答案:A3.若数列{an}的通项公式an=,记f(n)=2(1-a1)·(1-a2)…(1-an),试通过计算f(1),f(2),f(3

3、)的值,推测出f(n)为(  )A.B.C.D.解析:f(1)=2(1-a1)==,f(2)=2(1-)(1-)==,f(3)=2(1-a1)(1-a2)(1-a3)=2(1-)(1-)(1-)==,可猜测f(n)=.答案:C4.已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n,第k项满足5

4、,∴k=8.答案:B二、填空题5.数列{an}满足an+1=a1=,则数列的第2008项为________.解析:∵a1=,∴a2=2a1-1=,∴a3=2a2=,∴a4=2a3=,a5=2a4-1=,a6=2a5-1=…,∴该数列的周期为T=4.∴a2008=a4=.答案:6.已知数列{an}中,a1=1,(n+1)an=nan+1,则数列{an}的一个通项公式an=________.解法一:由a1=1,(n+1)an=nan+1,可得a2=2,a3=3,a4=4,∴数列的通项公式an=n.验证:

5、当an=n时,(n+1)an=nan+1成立.解法二:由(n+1)an=nan+1可得=.∴当n≥2时,=,=,…,=,=2.将以上各式累乘求得=n,∴an=n,而n=1时也适合.∴数列的通项公式为an=n.答案:n三、解答题7.已知数列{an}的前n项和为Sn,满足log2(1+Sn)=n+1,求数列的通项公式.解:Sn满足log2(1+Sn)=n+1,∴1+Sn=2n+1,∴Sn=2n+1-1.∴a1=3,an=Sn-Sn-1=(2n+1-1)-(2n-1)=2n(n≥2),∴{an}的通项公式

6、为an=8.在数列{an}中,a1=,an=1-(n≥2,n∈N*),数列{an}的前n项和为Sn.(1)求证:an+3=an;(2)求a2008.(1)证明:an+3=1-=1-=1-=1-=1-=1-=1-=1-(1-an)=an.∴an+3=an.(2)解:由(1)知数列{an}的周期T=3,a1=,a2=-1,a3=2.又∵a2008=a3×669+1=a1=.∴a2008=.[高考·模拟·预测]1.(2009·佛山一模)记数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2(an-1),则a2=(  

7、)A.4B.2C.1D.-2解析:取n=1得a1=2(a1-1),所以a1=2,再由n=2得2+a2=2(a2-1),所以a2=4.答案:A2.(2009·沈阳监测二)在数列{an}中,若a1=1,3anan-1+an-an-1=0(n≥2,n∈N*),则通项an是(  )A.B.C.D.解析:将3anan-1+an-an-1=0的两边同时除以anan-1(anan-1≠0)得:3+-=0,-=3,故数列{}是首项为1,公差为3的等差数列,=+(n-1)×3=3n-2,故通项an=.答案:D3.(2

8、009·深圳二调)已知数列{an}的前n项和Sn=n(20-n),则当anan+1<0时,n=________.解析:由Sn=n(20-n)得,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n(20-n)-(n-1)[20-(n-1)]=-2n+21;当n=1时,a1=S1=1×(20-1)=19=-2×1+21.故数列{an}的通项公式为an=-2n+21.由an·an+1=(-2n+21)[-2(n+1)+21]=(-2n+21)(-2n+19)<0⇔

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