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1、§6.1 数列的概念及简单表示法1．数列的定义按照一定次序排列起来的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．2．数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列an＋1__>__an其中n∈N＋递减数列an＋1__<__an常数列an＋1＝an按其他标准分类有界数列存在正数M，使
2、an
3、≤M摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列3．数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法．4．数列的通
4、项公式如果数列{an}的第n项an与n之间的关系可以用一个函数式an＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．5．已知Sn，则an＝.1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)所有数列的第n项都能使用公式表达．( × )(2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．( √ )(3)数列：1,0,1,0,1,0，…，通项公式只能是an＝.( × )(4)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对∀n∈N＋，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.( √ )(5)在数列{an}中
5、，对于任意正整数m，n，am＋n＝amn＋1，若a1＝1，则a2＝2.( √ )(6)若已知数列{an}的递推公式为an＋1＝，且a2＝1，则可以写出数列{an}的任何一项．( √ )2．设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为( )A．15B．16C．49D．64答案 A解析 ∵Sn＝n2，∴a1＝S1＝1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1.∴an＝2n－1，∴a8＝2×8－1＝15.3．已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＋Sm＝Sn＋m，且a1＝1，那
6、么a10等于( )A．1B．9C．10D．55答案 A解析 ∵Sn＋Sm＝Sn＋m，a1＝1，∴S1＝1.可令m＝1，得Sn＋1＝Sn＋1，∴Sn＋1－Sn＝1.即当n≥1时，an＋1＝1，∴a10＝1.4．(2013·课标全国Ⅰ)若数列{an}的前n项和Sn＝an＋，则{an}的通项公式是an＝_____.答案 (－2)n－1解析 当n＝1时，a1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，故＝－2，故an＝(－2)n－1.当n＝1时，也符合an＝(－2)n－1.综上，an＝(－2)n
7、－1.5．(2013·安徽)如图，互不相同的点A1，A2，…，An，…和B1，B2，…，Bn…分别在角O的两条边上，所有AnBn相互平行，且所有梯形AnBnBn＋1An＋1的面积均相等．设OAn＝an，若a1＝1，a2＝2，则数列{an}的通项公式是________．答案 an＝由相似三角形面积比是相似比的平方知OA＋OA＝2OA，即a＋a＝2a，因此{a}为等差数列且a＝a＋3(n－1)＝3n－2，故an＝.题型一 由数列的前几项求数列的通项例1 写出下面各数列的一个通项公式：(1)3,5,7,9，
8、…；(2)，，，，，…；(3)－1，，－，，－，，…；(4)3,33,333,3333，….思维启迪 先观察各项的特点，然后归纳出其通项公式，要注意项与项数之间的关系，项与前后项之间的关系．解 (1)各项减去1后为正偶数，所以an＝2n＋1.(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23,24，…，所以an＝.(3)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因子(－1)n；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2－1，偶
9、数项为2＋1，所以an＝(－1)n·.也可写为an＝(4)将数列各项改写为，，，，…，分母都是3，而分子分别是10－1,102－1,103－1,104－1，…，所以an＝(10n－1)．思维升华 根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：分式中分子、分母的各自特征；相邻项的联系特征；拆项后的各部分特征；符号特征，应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想． (1)数列－1,7，－13,19，…的一个通项公式是an＝________.(2)数列{an}的前4项是，1
10、，，，则这个数列的一个通项公式是an＝________.答案 (1)(－1)n·(6n－5) (2)解析 (1)符号问题可通过(－1)n或(－1)n＋1表示，其各项的绝对值的排列规律为后面的数的绝对值总比前面的数的绝对值大6，故通项公式为an＝(－1)n(6n－5)．(2)数列{an}的前4项可变形为，，，，故an＝.题型二 由数列的前n项和Sn求数列的通项例2 已知下面数列{an}的前n项和Sn，求{an}的通项公式：(1)Sn＝2n2－3n；(2)S
