年从化二中高二数学竞赛试题含答案_

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1、2008年从化二中高二数学竞赛试题（总分100分）一、选择题（每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设平面上有四个互异的点A、B、C、D，已知，则△ABC的形状是（　　）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形.2．设AB是椭圆（）的长轴，若把AB100等分，过每个分点作AB的垂线，交椭圆的上半部分于P1、P2、…、P99，F1为椭圆的左焦点，则+…的值是（　　）A．B．C．D．3．为互不相等的正数，，则下列关系中可能成立的是（　　）A．B．C．D．4.设，又记则（　　）A．　B．　C

2、．　D．5．设方程所表示的曲线是（　　）A．双曲线B．焦点在x轴上的椭圆C．焦点在y轴上的椭圆D．以上答案都不正确6．在中，分别是角所对边的边长，若则的值是（　　）A．1B．C．D．2二、填空题（每小题5分，共30分．）7．如果执行右边的程序框图，那么输出的___　　_______.8．计算___　　_______.9．把半径为1的4个小球装入一个大球内，则此大球的半径的最小值___　　_______.10．，方程的实数x的取值范围是___　　_______.11．关于的方程一定有实数解，则的取值范围是___　　_______.12．若函数是奇函

3、数，则实数对___　　_______.三、解答题（共40分）13．（本大题满分14分）．已知函数（Ⅰ）若函数的最小值是，且，求的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，在区间恒成立，试求的取值范围；（Ⅲ）令,若,又的图象在轴上截得的弦的长度为，且，试确定的符号.14．（本大题满分12分）已知奇函数在区间上是增函数，且，当有，求不等式的解集15．（本大题满分14分）四边形ABCD中，∠ABC=∠BAC=80°，∠DBC=40°，ADBC∠DCB=30°，求证：AD∥BC。2008年从化二中高二数学竞赛试题参考答案（总分100分）一、选择题（每小题5分，共30分

4、）123456ADCBCB二、填空题（每小题5分，共30分）7．_25508．_4_9．10．11．12．1.提示：2.提示：由椭圆的定义知()，由题意知关于轴成对称分布，又，故所求的值为.3.解：若，则，不合条件，排除，又由，故与同号，排除；且当时，有可能成立，例如取，故选．4.解：，，据此，，，因为型，故选.5.解：于是，，同理。因为，故应选C6.解：，∴∴即∴∴，∴，，故选B7.8.解：9.提示：4个小球在大球内两两相切，4个小球的球心连线构成1个正四面体，正四面体的中心与大球的球心重合，大球的半径等于正四面体的外接球半径加上小球的半径，所

5、以大球半径为.(其中,表示正四面体的高,表示正四面体的棱长.)10.解：把原方程化为关于k的方程为：，∵，∴△≥0，即，解得11.由,知12解：由奇函数的性质，知即，解得（舍去负值）于是，又于是恒成立，故.三、解答题（共40分）13．（本大题满分14分）．解：（Ⅰ）由已知解得，，…………………2分∴,∴…………4分∴.……………………5分（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下，在区间恒成立,即在区间恒成立,从而在区间上恒成立，…………………8分令函数,则函数在区间上是减函数，且其最小值，∴的取值范围为…………………………10分（Ⅲ）由，得，∵∴,………………11分

6、设方程的两根为，则,,∴,∵，∴,∴，∵且，∴，∴……………14分14．（本大题满分12分）解：由得所以或为奇函数，且在区间上是增函数，知在上是增函数，且于是得，从而，所以所以解集为15．（本大题满分14分）证明：作正△ACE，连接BE，∵∠ABC=∠BAC，∴CA=CB=CE，即点C是△ABE的外心，BCADE∴，∴又∵，∴，即BECD是等腰梯形，∴BE=CD，∴∴AB=AD，∠DAC=∠BAE=20°，即∠BAD=80°+20°=100°，∴∠ADB=∠ABD=40°=∠DBC。（或∠DAB+∠ABC=180°）∴AD∥BC