年从化二中高一数学竞赛试题含答案_

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1、2008年从化二中高一数学竞赛试题(考试时间：5月15日上午8：30—11：00)题号一二总分1—1011121314得分　　　　　　评卷人　　　　　　复查人　　　　　　答题时注意：1.用圆珠笔或钢笔作答.2.解答书写时不要超过装订线.3.草稿纸不上交.一、填空题(共10小题，每小题9分，满分90分)1.y=+的最大值为a，最小值为b，则ab等于.2.已知实数b,c满足b<2

2、，A={2,3,8}，则可求得和为(-1)2×2+(-1)3×3+(-1)8×8=7),对S的所有非空子集，这些和的总和为.4.已知两个集合A=，B=，若A∩B≠，则整数a的值为.5.函数f(x)的定义域为(0,+∞)，并且对任意正实数x，都有f(x)+2f()=3x，则f(2)=.6.a,b,c是正整数，且成等比数列，b-a是一个完全平方数，log6a+log6b+log6c=6，则a+b+c=.7.已知f(x)=x2+6ax-a，y=f(x)的图像与x轴有两个不同的交点(x1，0),(x2,0)且-=8a-3

3、，则a的值为.8.若不等式对-1≤a≤1恒成立，则x的取值范围是.9.已知数列{ak}的通项ak=2k，k=1，2，…，n，则所有的aiaj(1≤i≤j≤n)的和为.10.设n为正整数，记1×2×…×n为n!(例如1！=1，2！=1×2，5！=1×2×3×4×5)，若存在正整数a2，a3，a4，a5，a6满足=++++，这里0≤ai

4、x2+bx+c(a，b，c∈R)，已知，，求证：当x∈[-1,1]时，.13.在直角三角形ABC中，∠B=90°，它的内切圆分别与BC，CA，AB相切于点D，E，F，连接AD，与内切圆相交于另一点p，连接PC，PE，PF，FD.已知PC⊥PF.求证：(1)=(2)PE∥BC.14.设集合A的元素都是正整数，满足如下条件：(1)A的元素个数不小于3；(2)若a∈A，则a的所有正因数都属于A(3)若a∈A，b∈A，1

5、005是否是集合A的元素？并说明理由。2008年从化二中高一数学竞赛试题参考答案一、填空题(共10小题，每小题9分，满分90分)1.y=+的最大值为a，最小值为b，则ab等于.解：首先，由，且，得..由于，所以，当x=时，y2取得最大值，故a=当x=或时，y2取得最小值，故b=，所以，ab=2.已知实数b,c满足b<2

6、k都乘以再求和(例如，A={2,3,8}，则可求得和为(-1)2×2+(-1)3×3+(-1)8×8=7),对S的所有非空子集，这些和的总和为.解：因为S={2，3，…，9}，对于每个k(k=2,3,…,9)，在总和中出现27次，故总和为4.已知两个集合A=，B=，若A∩B≠，则整数a的值为.解：由题意知，方程组有整数解(x，y)，x>0.显然a≠0，y<0，从而a<0.消去y，可得即3a2-2a≤9，由于a是负整数，所以a只能等于-1.当a=-1时，，所以a=-15.函数f(x)的定义域为(0,+∞)，并且对任

7、意正实数x，都有f(x)+2f()=3x，则f(2)=.解：令x=2，得，令x=，得，从①，②中消去，得f(2)=20036.a,b,c是正整数，且成等比数列，b-a是一个完全平方数，log6a+log6b+log6c=6，则a+b+c=.解：由题意，b2=ac，log6abc=6，所以，abc=66，故b=62=36，ac=362.于是，36-a是完全平方数，所以，a只能为11，20，27，32，35，而a是362的约数，故a=27，进而，c=48，所以a+b+c=1117.已知f(x)=x2+6ax-a，y=

8、f(x)的图象与x轴有两个不同的交点(x1，0),(x2,0)且-=8a-3，则a的值为.解：首先，由，得a>0或a<，由题意，可设则，，所以，解得a=0.5或者a=0(舍)。故a=8.若不等式对-1≤a≤1恒成立，则x的取值范围是.解：由题意知，不等式ax2+7x-1>2x+5对恒成立，即关于a的不等式x2a+5x-6>0对恒成立.令，则所以，2