2009年浙江省高考题预测解析几何试题

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1、2009年浙江省高考解析几何专题预测浙江省江山实验中学夏红青（324100）例1.（杭二中二月预测卷）如图所示，已知圆为圆上一动点，点在上，点在上，且满足的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）若直线与（1）中所求点的轨迹交于不同两点是坐标原点，且，求△的面积的取值范围.解：（1），所以为线段的垂直平分线，所以动点的轨迹是以，为焦点的椭圆，且长轴长为，焦距，所以，，曲线E的方程为.（2）设Ｆ（x1，y1）H（x2，y2），则由，消去y得又点到直线的距离，，yoACNMP例2（.绍兴三月模拟）已知平面上两定点M（0，－2）、N（

2、0，2），P为平面上一动点，满足.（I）求动点P的轨迹C的方程；（II）若A、B是轨迹C上的两不同动点，且（λ∈R）.分别以A、B为切点作轨迹C的切线，设其交点为Q，证明为定值。解：（I）设整理，得：即动点P的轨迹C为抛物线，其方程为（II）由已知N（0，2）三点共线。∵直线AB与x轴不垂直，可设直线AB的方程为：，则：抛物线方程为所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是：所以为定值，其值为0.例3.（江山实验中学三月模拟）已知椭圆C：上动点到定点,其中的距离的最小值为1.（1）请确定M点的坐标（2）试问是否存在经过M点的直线

3、,使与椭圆C的两个交点A、B满足条件（O为原点）,若存在,求出的方程,若不存在请说是理由。【思维分析】此题解题关键是由条件知从而将条件转化点的坐标运算再结合韦达定理解答。解析：设，由得故由于且故当时，的最小值为此时，当时，取得最小值为解得不合题意舍去。综上所知当是满足题意此时M的坐标为（1，0）。（2）由题意知条件等价于，当的斜率不存在时，与C的交点为，此时，设的方程为，代入椭圆方程整理得，由于点M在椭圆内部故恒成立，由知即，据韦达定理得，代入上式得得不合题意。综上知这样的直线不存在。【知识点归类点拔】在解题过程中要注意将在向

4、量给出的条件转化向量的坐标运算，从而与两交点的坐标联系起来才自然应用韦达定理建立起关系式。此题解答具有很强的示范性，请同学们认真体会、融会贯通。例4．（09苏州模拟）已知点P（4，4），圆C：与椭圆E：有一个公共点A（3，1），F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF1与圆C相切．（Ⅰ）求m的值与椭圆E的方程；（Ⅱ）设Q为椭圆E上的一个动点，求的取值范围．解：（Ⅰ）点A代入圆C方程，得．∵m＜3，∴m＝1．圆C：．设直线PF1的斜率为k，则PF1：，即．∵直线PF1与圆C相切，∴．解得当k＝时，直线PF1与x轴的交点横坐标为

5、，不合题意，舍去．当k＝时，直线PF1与x轴的交点横坐标为－4，∴c＝4．F1（－4，0），F2（4，0）．2a＝AF1＋AF2＝，，a2＝18，b2＝2．椭圆E的方程为：．（Ⅱ），设Q（x，y），，．∵，即，而，∴－18≤6xy≤18．则的取值范围是[0，36]．的取值范围是[－6，6]．∴的取值范围是[－12，0]．例5.（南通第一次统考）抛物线的焦点为F，在抛物线上，且存在实数λ，使0，．（1）求直线AB的方程；（2）求△AOB的外接圆的方程．解：（1）抛物线的准线方程为．∵，∴A，B，F三点共线．由抛物线的定义，得

6、

7、

8、=．设直线AB：，而．∴

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10、==．∴．从而，故直线AB的方程为，即．（2）由求得A（4，4），B（，－1）．设△AOB的外接圆方程为，则解得故△AOB的外接圆的方程为．例6.（苏北十校期末）如图，已知椭圆的焦点和上顶点分别为、、，我们称为椭圆的特征三角形.如果两个椭圆的特征三角形是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，且三角形的相似比即为椭圆的相似比.（1）已知椭圆和，判断与是否相似，如果相似则求出与的相似比，若不相似请说明理由；（2）写出与椭圆相似且半短轴长为的椭圆的方程，并列举相似椭圆之间的三种性质（不需证明）；（3）已知

11、直线,在椭圆上是否存在两点、关于直线对称，若存在，则求出函数的解析式.[解]：（1）椭圆与相似.因为的特征三角形是腰长为4，底边长为的等腰三角形，而椭圆的特征三角形是腰长为2，底边长为的等腰三角形，因此两个等腰三角形相似，且相似比为.（2）椭圆的方程为：.两个相似椭圆之间的性质有：两个相似椭圆的面积之比为相似比的平方；①分别以两个相似椭圆的顶点为顶点的四边形也相似，相似比即为椭圆的相似比；②两个相似椭圆被同一条直线所截得的线段中点重合；过原点的直线截相似椭圆所得线段长度之比恰为椭圆的相似比.（3）假定存在，则设、所在直线为，中

12、点为.则.所以.中点在直线上，所以有...例7.（扬州期末测试）已知圆交轴于两点，曲线是以为长轴，直线为准线的椭圆．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若是直线上的任意一点，以为直径的圆与圆相交于两点，求证：直线必过定点，并求出点的坐标；（Ⅲ）如图所示，若直线与椭圆交于两点，且，试