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《苏教版高中数学选修2-1第3章《空间向量与立体几何》（2.1）word学案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、www.ks5u.com3．2 空间向量的应用3．2.1 直线的方向向量与平面的法向量[学习目标] 1.理解直线的方向向量与平面的法向量的意义.2.会用待定系数法求平面的法向量．[知识链接]1．平面的法向量有无数个，它们之间有何关系？答：相互平行．2．一条直线的方向向量和平面法向量是否惟一？是否相等？答：不惟一，它们相互平行，但不一定相等．[预习导引]1．直线的方向向量直线l上的向量e(e≠0)以及与e共线的非零向量叫做直线l的方向向量．2．平面的法向量如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平
2、面α，那么称向量n垂直于平面α，记作n⊥α，此时，我们把向量n叫做平面α的法向量.要点一 直线的方向向量及其应用例1 设直线l1的方向向量为a＝(1,2，－2)，直线l2的方向向量为b＝(－2,3，m)，若l1⊥l2，则m＝________.答案 2解析 由题意，得a⊥b，所以a·b＝(1,2，－2)·(－2,3，m)＝－2＋6－2m＝4－2m＝0，所以m＝2.规律方法 若l1⊥l2，则l1与l2的方向向量垂直；若l1∥l2，则l1与l2的方向向量平行．跟踪演练1 若直线l1，l2的方向向量分别是
3、a＝(1，－3，－1)，b＝(8,2,2)，则l1与l2的位置关系是________．答案 垂直解析 因为a·b＝(1，－3，－1)·(8,2,2)＝8－6－2＝0，所以a⊥b，从而l1⊥l2.要点二 求平面的法向量例2 已知点A(a,0,0)、B(0，b,0)、C(0,0，c)，求平面ABC的一个法向量．解 设坐标原点为O，由已知可得：＝－＝(0，b,0)－(a,0,0)＝(－a，b,0)，＝－＝(0,0，c)－(a,0,0)＝(－a,0，c)．设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)，则n
4、·＝(x，y，z)·(－a，b,0)＝－ax＋by＝0，n·＝(x，y，z)·(－a,0，c)＝－ax＋cz＝0.于是得y＝x，z＝x.不妨令x＝bc，则y＝ac，z＝ab.因此，可取n＝(bc，ac，ab)为平面ABC的一个法向量．规律方法 平面的法向量有无数条，一般用待定系数法求解，解一个三元一次方程组，求得其中一条即可，构造方程组时，注意所选平面内的两向量是不共线的，赋值时保证所求法向量非零，本题中法向量的设法值得借鉴．跟踪演练2 如图，ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABC
5、D，SA＝AB＝BC＝1，AD＝，求平面SCD与平面SBA的法向量．解 ∵AD、AB、AS是三条两两垂直的线段，∴以A为原点，以、、的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示坐标系，则A(0,0,0)，D(，0,0)，C(1,1,0)，S(0,0,1)，＝(，0,0)是平面SBA的法向量，设平面SCD的法向量n＝(1，λ，u)，有n⊥，n⊥，则n·＝(1，λ，u)·(，1,0)＝＋λ＝0，∴λ＝－.n·＝(1，λ，u)·(－，0,1)＝－＋u＝0，∴u＝，∴n＝(1，－，)．要点三 证明平面的法
6、向量例3 在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点．求证：是平面ADE的法向量．证明 如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D(0,0,0)，D1(0,0,1)，A(1,0,0)，E(1,1，)，F(0，，0)，所以＝(－1,0,0)，＝(0，，－1)，＝(0,1，)，所以·＝(－1,0,0)·(0，，－1)＝0，·＝(0,1，)·(0，，－1)＝0，所以⊥，⊥，又AD∩AE＝A，所以⊥平面ADE，从而是平面
7、ADE的法向量．规律方法 用向量法证明线面垂直的实质仍然是用向量的数量积证明线线垂直，因此，其思想方法与证明线线垂直相同，区别在于必须证明两个线线垂直．跟踪演练3 已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，在BC、DD1上是否存在点E、F，使是平面ABF的法向量？若存在，证明你的结论，并求出点E、F满足的条件；若不存在，请说明理由．解 建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,1)，B(1,1,1)，B1(1,1,0)，设F(0,0，h)，E(m,1,1)，则＝(0,1,0)，＝(m－1,0
8、,1)，＝(1,0,1－h)．∵·＝0，∴AB⊥B1E.若是平面ABF的法向量，则·＝m－1＋1－h＝m－h＝0，∴h＝m.即E、F满足D1F＝CE时，是平面ABF的法向量．故存在，且E、F满足D1F＝CE.1．已知a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)分别是直线l1、l2的方向向量．若l1∥l2，则x＝________，y＝________.答案 6 解析 由l1∥l2得，＝＝，解得x＝6，y＝.2．若A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为___
