苏教版高中数学选修2-1第3章《空间向量与立体几何》（1.5）word学案

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1、www.ks5u.com3．1.5　空间向量的数量积[学习目标]　1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量积的概念、性质和计算方法及运算规律.2.掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中一些简单的问题．[知识链接]空间两个向量的夹角是怎样定义的，范围怎样规定？答：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．规定：0≤〈a，b〉≤π.[预习导引]1．空间向量的夹角定义已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a

2、，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角记法〈a，b〉范围〈a，b〉∈[0，π]．当〈a，b〉＝时，a_⊥_b2.空间向量的数量积(1)定义已知两个非零向量a，b，则

3、a

4、

5、b

6、cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.(2)数量积的运算律数乘向量与向量数量积的结合律(λa)·b＝λ(a·b)(λ∈R)交换律a·b＝b·a分配律a·(b＋c)＝a·b＋a·c(3)数量积的性质①若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0两个向量数量积的性质②若a与b同向，则a·b＝

7、a

8、·

9、b

10、；若反向，则a·b＝

11、－

12、a

13、·

14、b

15、.特别地，a·a＝

16、a

17、2或

18、a

19、＝③若θ为a，b的夹角，则cosθ＝④

20、a·b

21、≤

22、a

23、·

24、b

25、要点一　空间向量的数量积运算例1　已知长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AB1的中心，F为A1D1的中点．试计算：(1)·；(2)·；(3)·.解　如图，设＝a，＝b，＝c，则

26、a

27、＝

28、c

29、＝2，

30、b

31、＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0.(1)·＝b·[(c－a)＋b]＝

32、b

33、2＝42＝16.(2)·＝·(a＋c)＝

34、c

35、2－

36、a

37、2＝22－22＝0.(

38、3)·＝·＝(－a＋b＋c)·＝－

39、a

40、2＋

41、b

42、2＝2.规律方法　计算两个向量的数量积，可先将各向量用同一顶点上的三条棱对应向量表示，再代入数量积公式进行运算．跟踪演练1　已知空间向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，

43、a

44、＝3，

45、b

46、＝1，

47、c

48、＝4，则a·b＋b·c＋c·a的值为________．答案　－13解析　∵a＋b＋c＝0，∴(a＋b＋c)2＝0，∴a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，∴a·b＋b·c＋c·a＝－＝－13.要点二　利用数量积求夹角例2　如图，在空间四边形OA

49、BC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求OA与BC所成角的余弦值．解　因为＝－，所以·＝·－·＝

50、

51、

52、

53、cos〈，〉－

54、

55、

56、

57、·cos〈，〉＝8×4×cos135°－8×6×cos120°＝－16＋24.所以cos〈，〉＝＝＝.即OA与BC所成角的余弦值为.规律方法　利用向量的数量积，求异面直线所成的角的方法：①根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量；②将求异面直线所成角的问题转化为求向量夹角问题；③利用向量的数量积求角的大小；④证两向量垂直可转化为数

58、量积为零．跟踪演练2　如图所示，正四面体ABCD的每条棱长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点，求证：MN⊥AB，MN⊥CD.证明　·＝(＋＋)·＝(＋＋)·＝(＋＋－)·＝a2＋a2cos120°＋a2cos60°－a2cos60°＝0，所以⊥，即MN⊥AB.同理可证MN⊥CD.要点三　利用数量积求距离例3　正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长都为2，E、F分别是AB、A1C1的中点，求EF的长．解　如图所示，设＝a，＝b，＝c.由题意知

59、a

60、＝

61、b

62、＝

63、c

64、＝2，且〈a，b〉＝60°，〈a，c

65、〉＝〈b，c〉＝90°.因为＝＋＋＝－＋＋＝－a＋b＋c，所以EF2＝

66、

67、2＝2＝a2＋b2＋c2＋2＝×22＋×22＋22＋2××2×2cos60°＝1＋1＋4－1＝5，所以EF＝.规律方法　利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式

68、a

69、＝求解即可．跟踪演练3　如图所示，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BA

70、D＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，求AC1的长．解　因为＝＋＋，所以2＝(＋＋)2＝2＋2＋2＋2(·＋·＋·)．因为∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，所以〈，〉＝90°，〈，〉＝〈，〉＝60°.所以2＝1＋4＋9＋2(1×3×cos60°＋2×3×cos60°)＝23.因为

71、

72、2＝2，所以

73、

74、2＝23，

75、

76、＝，即AC1＝.1．若a，b均为非零向量，则a·b＝

77、a

78、

79、b

80、是a与b共线的________条件．答案　充分不必要解析　a·b＝

81、a

82、