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《高中数学苏教版选修2-1第3章《空间向量与立体几何》（2.2）word学案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、www.ks5u.com3．2.2 空间线面关系的判定[学习目标] 1.能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直和平行关系.2.能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理(包括三垂线定理).3.能用向量方法判断一些简单的空间线面的平行和垂直关系．[知识链接]1．用向量法如何证明线面平行？答：证平面外的直线的方向向量与平面内一条直线的方向向量平行或直线的方向向量与平面的法向量垂直即可．2．用向量法如何证明线面垂直？答：证直线的方向向量与平面的法向量平行即可．[预习导引]1．空间中平行关系的向量表示(1)线线平行设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，则l
2、∥m⇔a∥b⇔a＝kb⇔a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2，k∈R.(2)线面平行设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.(3)面面平行设平面α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔u∥v⇔u＝kv⇔a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2，k∈R.2．空间垂直关系的向量表示(1)线线垂直设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l⊥m⇔a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3
3、＝0.(2)线面垂直设直线l的方向向量是u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量是v＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔u∥v⇔u＝kv.(3)面面垂直若平面α的法向量为u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β⇔u⊥v⇔u·v＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.要点一 证明线线垂直例1 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，求证：AC⊥BC1.证明 ∵直三棱柱ABC—A1B1C1底面三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AC、BC、C1C两两垂直．如图，以C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线分别为x轴、y轴、
4、z轴建立空间直角坐标系．则C(0,0,0)，A(3,0,0)，C1(0,0,4)，B(0,4,0)，∵＝(－3,0,0)，＝(0，－4,4)，∴·＝0.∴⊥，即AC⊥BC1.规律方法 证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直．跟踪演练1 已知正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN＝CC1.求证：AB1⊥MN.证明 方法一 (基向量法)设＝a，＝b，＝c，则由已知条件和正三棱柱的性质，得
5、a
6、＝
7、b
8、＝
9、c
10、＝1，a·c＝b·c＝0，＝a＋c，＝(a＋b)，＝b＋c，＝－＝
11、－a＋b＋c，∴·＝(a＋c)·(－a＋b＋c)＝－＋cos60°＋＝0.∴⊥，∴AB1⊥MN.方法二 (坐标法)设AB中点为O，作OO1∥AA1.以O为坐标原点，OB为x轴，OC为y轴，OO1为z轴建立如图所示的空间直角坐标系．由已知得A(－，0,0)，B(，0,0)，C(0，，0)，N(0，，)，B1(，0,1)，M(，，0)．∴＝(－，，)，＝(1,0,1)，∴·＝－＋0＋＝0.∴⊥，∴AB1⊥MN.要点二 利用空间向量证明平行关系例2 如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM＝BD，AN＝AE.求证：MN∥平面CDE.证明 因
12、为矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，所以AB，AD，AF互相垂直．不妨设AB，AD，AF的长分别为3a,3b,3c，以，，为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系A—xyz.则各点坐标为B(3a，0,0)，D(0,3b,0)，F(0,0,3c)，E(0,3b,3c)，所以＝(－3a,3b,0)，＝(0，－3b，－3c)．因为＝＝(－a，b,0)，＝＝(0，－b，－c)，所以＝＋＋＝(0，－b，－c)＋(3a,0,0)＋(－a，b,0)＝(2a,0，－c)．又平面CDE的一个法向量是＝(0,3b,0)，由·＝(2a,0，－c)·(0,3b,0)＝0，得到⊥.因为MN不在平面CDE内，
13、所以MN∥平面CDE.规律方法 利用向量证明平行问题，可以先建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，然后根据向量之间的关系证明平行问题．跟踪演练2 如图，四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝BC＝AD＝1，问在棱PD上是否存在一点E，使CE∥平面PAB？若存在，求出E点的位置；若不存在，说明理由．解 分别以A
