高中数学苏教版选修2-1第3章《空间向量与立体几何》（1.1）word学案

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1、www.ks5u.com3．1　空间向量及其运算3．1.1　空间向量及其线性运算[学习目标]　1.掌握空间向量相关的概念，几何表示法、字母表示法.2.掌握空间向量的加减运算及运算律.3.借助图形理解空间向量加减运算及其运算律的意义．[知识链接]观察正方体中过同一个顶点的三条棱所表示的三个向量，，，它们和以前所学的向量有什么不同？(如图)答：，，是不同在一个平面内的向量，而我们以前所学的向量都在同一平面内．[预习导引]1．空间向量的概念在空间中，既有大小又有方向的量叫做空间向量，向量的大小叫向量的长度或模．2．空间向量的加减法(1)加减法定义空间中任意两个向量都是共面的

2、，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法．(如图)＝＋＝a＋b；＝－＝a－b.(2)运算律交换律：a＋b＝b＋a；结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．3．空间向量的数乘运算(1)定义实数λ与空间向量a的乘积λa仍是一个向量，称为向量的数乘运算．当λ>0时，λa与a方向相同；当λ<0时，λa与a方向相反；当λ＝0时，λa＝0.λa的长度是a的长度的

3、λ

4、倍．如图所示．(2)运算律分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb；结合律：λ(μa)＝(λμ)a.4．共线向量定理(1)共线向量的定义与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线

5、向量或平行向量，记作a∥b.(2)充要条件对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，b与a共线的充要条件是存在实数λ，使b＝λa.要点一　空间向量的概念例1　判断下列命题的真假．(1)空间向量就是空间中的一条有向线段；(2)不相等的两个空间向量的模必不相等；(3)两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；(4)向量与向量的长度相等．解　(1)假命题，有向线段只是空间向量的一种表示形式，但不能把二者完全等同起来．(2)假命题，不相等的两个空间向量的模也可以相等，只要它们的方向不相同即可．(3)假命题，当两个向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等，但两个向量相等

6、却不一定有相同的起点和终点．(4)真命题，与仅是方向相反，它们的长度是相等的．规律方法　在空间中，平行向量、向量的模、相等向量的概念和平面向量完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等．跟踪演练1　给出以下命题：①若空间向量a，b，c满足a∥b，b∥c，则a∥c；②若空间向量a、b满足

7、a

8、＝

9、b

10、，则a＝b；③在正方体ABCDA1B1C1D1中，必有＝；④若空间向量m、n、p满足m＝n，n＝p，则m＝p；⑤空间中任意两个单位向量必相等．其中不正确命题的个数是________．答案　3解析　因为0平行于任意向量，若b＝0则a与c不一定平行，故①错；根据

11、向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但②中向量a与b的方向不一定相同，故②错；根据正方体的性质，在正方体ABCDA1B1C1D1中，向量与的方向相同，模也相等，应有＝，故③正确；命题④显然正确；对于命题⑤，空间中任意两个单位向量模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，故⑤错．要点二　空间向量的线性运算例2　如图所示，已知长方体ABCDA′B′C′D′，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：(1)－；(2)＋＋；(3)＋－.解　(1)－＝＋＝＋＝.(2)＋＋＝.(3)连结AC′，设M是线段AC′的中点，则＋－＝＋＋＝(＋＋)＝＝.向量

12、、如图所示．规律方法　化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则，遇到减法时既可转化成加法，也可按减法法则进行运算．加减法之间可以转化．表达式中各向量的系数相等时，根据数乘分配律，可以把相同的系数提到括号外面．跟踪演练2　已知平行六面体ABCDA′B′C′D′，点M是棱AA′的中点，点G在对角线A′C上且CG∶GA′＝2∶1，设＝a，＝b，＝c，试用向量a、b、c表示向量、、、.解　如图所示，＝＋＝a＋b；＝＋＝a＋b＋c；＝＋＝＋＋＝a＋b＋c；＝＝(a＋b＋c)．要点三　空间向量的共线问题例3　设e1、e2是平面上不共线的向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1

13、＋3e2，＝2e1－e2，若A、B、D三点共线，求k的值．解　∵＝－＝e1－4e2，＝2e1＋ke2，又A、B、D三点共线，由共线向量定理得＝，∴k＝－8.规律方法　灵活应用共线向量定理，正确列出比例式．跟踪演练3　设两非零向量e1、e2不共线，＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3(e1－e2)．试问：A、B、D是否共线，请说明理由．解　∵＝＋＝(2e1＋8e2)＋3(e1－e2)＝5(e1＋e2)，∴＝5，又∵B为两向量的公共点，∴A、B、D三点共线．1．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，与向量相等的向量共有________个．答案　3解析