高中数学苏教版选修2-1第3章《空间向量与立体几何》（1.2）word学案

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1、www.ks5u.com3．1.2　共面向量定理[学习目标]　1.了解共面向量等概念.2.理解空间向量共面的充要条件．[知识链接]1．空间两向量共线，一定共面吗？反之还成立吗？答：一定共面，反之不成立．2．空间共面向量定理与平面向量基本定理有何关系？答：空间共面向量定理中，当向量a，b是平面向量时，即为平面向量基本定理．[预习导引]1．共面向量能平移到同一平面内的向量叫做共面向量．2．共面向量定理如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在有序实数组(x，y)，使得p＝xa＋yb，

2、即向量p可以由两个不共线的向量a，b线性表示．3．空间四点共面的条件若空间任意无三点共线的四点，对于空间任一点O，存在实数x、y、z使得＝x＋y＋z，且x、y、z满足x＋y＋z＝1，则A、B、C、D共面．要点一　应用共面向量定理证明点共面例1　已知A、B、C三点不共线，平面ABC外的一点M满足＝＋＋.(1)判断、、三个向量是否共面；(2)判断点M是否在平面ABC内．解　(1)∵＋＋＝3，∴－＝(－)＋(－)．∴＝＋＝－－.又与不共线．∴向量、、共面．(2)∵向量、、共面且具有公共起点M，∴M、A、B、C共

3、面．即点M在平面ABC内．规律方法　利用共面向量定理证明四点共面时，通常构造有公共起点的三个向量，用其中的两个向量线性表示另一个向量，得到向量共面，即四点共面．跟踪演练1　已知两个非零向量e1、e2不共线，如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3e1－3e2，求证：A、B、C、D共面．证明　∵＋＝5e1＋5e2＝5，∴＝(＋)＝＋，又与不共线．∴、、共面，又它们有一个公共起点A.∴A、B、C、D四点共面．要点二　应用共面向量定理证明线面平行例2　如图，在底面为正三角形的斜棱柱ABCA1B1C1中，D为AC

4、的中点，求证：AB1∥平面C1BD.证明　记＝a，＝b，＝c，则＝a＋c，＝－＝a－b，＝＋＝b＋c，所以＋＝a＋c＝，又与1不共线，所以，，共面．又由于AB1不在平面C1BD内，所以AB1∥平面C1BD.规律方法　在空间证明线面平行的又一方法是应用共面向量定理进行转化．要熟悉其证明过程和证明步骤．跟踪演练2　如图所示，已知斜三棱柱ABCA1B1C1，设＝a，＝b，＝c，在面对角线AC1上和棱BC上分别取点M、N，使＝k，＝k(0≤k≤1)．求证：MN∥平面ABB1A1.证明　＝k·＝k(＋)＝kb＋kc

5、，又∵＝＋＝a＋k＝a＋k(b－a)＝(1－k)a＋kb，∴＝－＝(1－k)a＋kb－kb－kc＝(1－k)a－kc.又a与c不共线．∴与向量a，c是共面向量．又MN不在平面ABB1A1内，∴MN∥平面ABB1A1.要点三　向量共线、共面的综合应用例3　如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是ABCD所在平面外的一点，连结PA，PB，PC，PD.设点E，F，G，H分别为△PAB，△PBC，△PCD，△PDA的重心．试用向量方法证明E，F，G，H四点共面．解　分别连结PE，PF，PG，PH并延长，交

6、对边于点M，N，Q，R，连结MN，NQ，QR，RM.∵E，F，G，H分别是所在三角形的重心，∴M，N，Q，R是所在边的中点，且＝，＝，＝，＝.由题意知四边形MNQR是平面四边形，∴＝＋＝(－)－(－)＝(－)＋(－)＝(＋)．又＝－＝－＝.∴＝＋，由共面向量定理知，E，F，G，H四点共面．规律方法　选择恰当的向量表示问题中的几何元素，通过向量运算得出几何元素之间的关系，这是解决立体几何常用的方法．跟踪演练3　已知O、A、B、C、D、E、F、G、H为空间的9个点(如图所示)，并且＝k，＝k，＝k，＝＋m，＝

7、＋m.求证：(1)A、B、C、D四点共面，E、F、G、H四点共面；(2)∥；(3)＝k.证明　(1)由＝＋m，＝＋m知A、B、C、D四点共面，E、F、G、H四点共面．(2)∵＝＋m＝－＋m(－)＝k(－)＋km(－)＝k＋km＝k(＋m)＝k，∴∥.(3)由(2)知＝－＝k－k＝k(－)＝k，∴＝k.1．给出下列几个命题：①向量a，b，c共面，则它们所在的直线共面；②零向量的方向是任意的；③若a∥b，则存在惟一的实数λ，使a＝λb.其中真命题的个数为________．答案　1解析　①假命题．三个向量共面时

8、，它们所在的直线或者在平面内或者与平面平行；②真命题．这是关于零向量的方向的规定；③假命题．当b＝0，则有无数多个λ使之成立．2．已知两非零向量e1，e2不共线，设a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R且λ，μ≠0)，则a与e1，e2的关系为________．答案　a与e1，e2共面解析　若a∥e1，则存在实数t使得a＝te1，∴te1＝λe1＋μe2，∴(t－λ)e1＝μe2，则e1与e2共线，不符合题意．同理，a与e2也不平行．由