高中数学苏教版选修2-1第3章《空间向量与立体几何》（2.3）word学案

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1、www.ks5u.com3．2.3　空间的角的计算[学习目标]　1.能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题.2.体会向量方法在研究几何问题中的作用．[知识链接]1．怎样求两条异面直线所成的角？答：(1)平移法：即通过平移其中一条(也可两条同时平移)，使它们转化为两条相交直线，然后通过解三角形获解．(2)向量法：设a、b分别为异面直线l1、l2上的方向向量，θ为异面直线所成的角，则异面直线所成角公式cosθ＝

2、cos〈a，b〉

3、＝.2．如何用平面的法向量表示二面角？答：设n1、n2是二面角αlβ的

4、两个面α，β的法向量，则向量n1与向量n2的夹角(或其补角)就是二面角的平面角的大小．[预习导引]1．两条异面直线所成的角(1)定义：设a、b是两条异面直线，过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，则a′与b′所夹的锐角或直角叫做a与b所成的角．(2)范围：两条异面直线所成角θ的取值范围是0<θ≤.(3)向量求法：设直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为φ，则a，b所成角的余弦值为cosθ＝

5、cosφ

6、＝.2．直线与平面所成的角(1)定义：直线和平面所成的角，是指直线与它在这个平面内的射影所成的角．(2)

7、范围：直线和平面所成角θ的取值范围是0≤θ≤.(3)向量求法：设直线l的方向向量为a，平面的法向量为u，直线与平面所成的角为θ，a与u的夹角为φ，则有sinθ＝

8、cosφ

9、＝或cosθ＝sinφ.3．二面角(1)二面角的取值范围：[0，π]．(2)二面角的向量求法：①若AB，CD分别是二面角αlβ的两个面内与棱l垂直的异面直线(垂足分别为A，C)，如图，则二面角的大小就是向量与的夹角．②设n1、n2是二面角αlβ的两个面α，β的法向量，则向量n1与向量n2的夹角(或其补角)就是二面角的平面角的大小.要点一

10、　求两条异面直线所成的角例1　如图所示，三棱柱OABO1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB＝60°，∠AOB＝90°，且OB＝OO1＝2，OA＝，求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值的大小．解　建立如图所示的空间直角坐标系，则O(0,0,0)，O1(0,1，)，A(，0,0)，A1(，1，)，B(0,2,0)，∴＝(－，1，－)，＝(，－1，－)．∴

11、cos〈，〉

12、＝＝＝.∴异面直线A1B与AO1所成角的余弦值为.规律方法　建立空间直角坐标系要充分利用题目中的垂直关系；利用向量法求两异

13、面直线所成角计算思路简便，要注意角的范围．跟踪演练1　正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是A1D1、A1C1的中点，求异面直线AE与CF所成角的余弦值．解　不妨设正方体棱长为2，分别取DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，则A(2,0,0)、C(0,2,0)、E(1，0,2)、F(1,1,2)，则＝(－1,0,2)，＝(1，－1,2)∴

14、

15、＝，

16、

17、＝.·＝－1＋0＋4＝3.又·＝

18、

19、

20、

21、cos〈，〉＝cos〈，〉，∴cos〈，〉＝，∴异面直线AE与CF所成角的余

22、弦值为.要点二　求直线和平面所成的角例2　已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a，M为A1B1的中点，求BC1与平面AMC1所成角的正弦值．解　建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，M(0，，a)，C1(－a，，a)，B(0，a,0)，故＝(－a，，a)，＝(0，，a)．设平面AMC1的法向量为n＝(x，y，z)．则∴令y＝2，则z＝－，x＝0.∴n＝(0,2，－)．又＝(－a，－，a)，∴cos〈，n〉＝＝＝－.设BC1与平面AMC1所成的角为θ，则sinθ＝

23、cos〈，n

24、〉

25、＝.规律方法　借助于向量求线面角关键在于确定直线的方向向量和平面的法向量，一定要注意向量夹角与线面角的区别和联系．跟踪演练2　如图所示，已知直角梯形ABCD，其中AB＝BC＝2AD，AS⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，且AS＝AB.求直线SC与底面ABCD的夹角θ的余弦值．解　由题设条件知，以点A为坐标原点，分别以AD、AB、AS所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系(如图所示)．设AB＝1，则A(0,0,0)，B(0,1,0)，C(1,1,0)，D，S(0,0,1)．∴＝(0,0,1

26、)，＝(－1，－1,1)．显然是底面的法向量，它与已知向量的夹角β＝－θ，故有sinθ＝cosβ＝＝＝，∵θ∈[0，]．∴cosθ＝＝.要点三　求二面角例3　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求二面角A1－BD－C1的余弦值．解　不妨设正方体的棱长为1，以，，为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，取BD的中点E，连结A1E，C1E.因为△DBA1和△BDC1都是正三角形，所以A1E⊥BD，C1E⊥BD，故