数学九年级28.1解直角三角形应用举例1教学资料

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1、应用举例【学习目标】1．了解仰角、俯角、坡角、坡度、水平距离、垂直距离、水位等在测量中有用的概念，并弄清它们的意义．2．能够利用解直角三角形的有关知识，解决与仰角、俯角、水平距离、垂直距离、倾斜角、坡度、坡角等有关的问题；并能解决与等腰三角形、等腰梯形有关的简单实际问题．【主体知识归纳】1．仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫做俯角．(如图6—23)．2．方位角指从起始位置，绕原点旋转到终止位置所成的角．3．坡角与坡度坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度（或叫

2、坡比），用字母i表示，即i=．如果把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么i==tanα．(如图6—24)．【基础知识讲解】1．要善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中元素间的关系，要根据题意，画出正确的示意图，利用已学过的图形的性质，作(画)出必要的辅助线，把有关的实际问题转化为解直角三角形的问题．2．在解决有关斜三角形、四边形等问题时，常常把它们转化为解直角三角形的问题，而转化的关键是如何添加辅助线，添加辅助线的过程必须在解的过程中写清楚；添加辅助线后，要指出在哪个直角三角形中，选用什么关

3、系式来进行求解．【例题精讲】例1：如图6—25，小山上有一电视塔CD，由地面上一点A，测得塔顶C的仰角为30°；由A点向小山前进100米到B点，在B点测得塔顶C的仰角为60°．已知CD＝20米，求小山的高度DE．剖析：由题意可知AB＝100米，CD=20米，∠ACB＝∠CBE－∠A＝60°－30°＝30°，可知BC＝AB＝100米，要求DE，只要求得CE即可．解：∵∠CBE是△ABC的一个外角，∴∠ACB＝∠CBE－∠A＝60°－30°＝30°，∴∠ACB＝∠A．∴BC＝AB＝100（米)．在Rt△BCE中，

4、sinCBE＝，∴CE＝BC·sinCBE＝100×sin60°＝．∴DE＝CE－CD＝50－20．例2：如图6—26，一电线杆AB的影子分别落在地上和墙上，某一时刻，小明竖起1米高的直杆，量得其影长为0.5m,此时，他又量得电线杆AB落在地上的影子BD长3m，落在墙上的影子CD的高为2m,小明用这些数据很快算出了电线杆AB的高．请你计算电线杆AB的高．剖析：如果没有墙，知道AB影子的长，又知道1米直杆的影长，我们会容易算出AB的高．那么，我们能否把问题转化为上述情况呢？怎样转化呢？通过观察我们知道，如果AB

5、少2m的话，那么它的影子的长恰好是3m．所以我们可以过点C作CE⊥AB,垂足为E，连结AC．显然CE=BD=3m．问题转化成了我们常见的、会解决的情形．解：过点C作CE⊥AB,垂足为E，连结AC．∴EC=BD=3m,EB=CD=2m,AE=AB－BE=AB－2．∵,解之，得AB=8．答：电线杆AB的高为8m．说明：遇到新问题要注意分析，观察特点，找出解决问题的途径，解决这类问题，常常是把它们转化为我们熟悉的、常见的、容易解决的问题．例3：如图6—27，某船向正东航行，在A处望见某岛C在北偏东60°，前进6海里

6、到B点，测得该岛在北偏东30°．已知在该岛周围6海里内有暗礁．问若该船继续向东航行，有无触礁危险?请说明理由．剖析：过点C向AB所在的直线作垂线段CD，若CD的长大于6海里，船继续航行就无触礁的危险；若CD的长不大于6海里，就有触礁的危险．因此，问题就转化为如何求CD的长．解：由题意可知，∠CAB＝30°，∠CBD＝60°，∴AB＝BC＝6．在Rt△CBD中，sinCBD＝，∴CD＝BC·sinCBD＝6×sin60°＝3．∵3＜6，∴船继续向东航行，有触礁的危险．例4：为了加固一段长江大堤，需要运来砂石和

7、土将堤面加宽1m，使坡度由原来的1：2变成1：3(如图6—28所示)，已知原来背水坡长BC＝12m，堤长100m，那么需要运来砂石和土多少立方米?(参考数据≈1.7，≈2.2)剖析：本题需要计算的是加宽部分的体积，因而需要先计算加宽部分的横断面面积，横断面是个梯形，因此过梯形上底两端点作下底的高，从而把梯形问题化归为解直角三角形问题．解：过C、D两点作CE⊥AB于点E，DF⊥AB于点F．在Rt△CBE中，iBC＝．∴BE＝2CE，又BC＝12（m），BC2=BE2+CE2,即5CE2=144．∴CE＝（m)

8、，BE＝（m）∵四边形CDFE为矩形，∴DF＝CE．在Rt△ADF中，iAD＝，（m)，∴AB＝AF＋EF－BE＝（＋1）（m）∴S梯形ABCD＝(m2）．∴Ｖ＝S梯形ABCD×100＝×100≈1968（m3)．答：需运来砂石和土1968m3例5：如图6—29，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点P从点A开始向点C、再沿CB向点B匀速运动，点Q从点A开始沿AB向点B、再沿BC向C匀速