全等三角形在几何证题中的作用

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1、全等三角形在几何证题中的作用全等三角形是初中几何的重点，是研究图形性质的基础，在几何证题中有着广泛的应用．下面举例说明其具体应用．1．证线段相等[来源:学*科*网Z*X*X*K]例1如图1，正方形ABCD的边BC、CD上取E、F两点，使∠EAF=45°，AG⊥EF于G．[来源:Z#xx#k.Com]求证AG=AB．证明将△ABE以A点为原点逆时针旋转90°，得到△ADH．可证△AHF≌△AEF．由此可知AG=AD，AG=AB．2．证角相等例2如图2，在△ABC中，AB=AC，P是三角形内任意一点，∠APB=∠APC．求证∠PBC=∠PCB．证明作∠CAP′=∠

2、BAP，取AP′=AP，连结CP′、PP′，可证△ABP≌△ACP′，从而可证PB=PC，于是∠PBC=∠PCB．例1、例2是用旋转变换构造出全等三角形，使已知条件与未知条件建立联系，证明途径易于发现．对具有等边特征的图形，一般可考虑用旋转法迁移线段或角的位置．3．证线段不等例3如图3，设P为三角形ABC内一点，且PC=BC．[来源:Z#xx#k.Com]求证AB＞AP．证明作∠BCP的平分线交AB于D，连结DP，可证△CBD≌△CPD，于是DB=DP．在△ADP中，有AD＋DP＞AP，即AD＋DB＞AP，∴AB＞AP．4．证角不等例44，已知△ABC中，AB

3、＞AC，AD是BC边上的中线，求证∠1＜∠2．证明延长AD至E，使DE=AD，可证△ADC≌△EDB，于是BE=AC，∠E=∠2．在△ABE中，∵AB＞AC，BE=AC，∴AB＞BE，∴∠1＜∠E，即∠1＜∠2，本题是用旋转法将△ACD转到△EBD的位置，使要比较大小的∠1、∠2（即∠E）处在同一个三角形中．5．证线段的和差倍分例5如图5，已知点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，并且∠DAF=∠EAF．[来源:Zxxk.Com]求证BE＋DF=AE．证明作∠BAG=∠DAF，AG与CB的延长线交于点G．可证△ADF≌△ABG，进而可证∠EAG=∠AF

4、D，又∠AFD=∠G，∴∠EAG=∠G，∴GB＋BE=AE，故BE＋DF=AE．本例用补短法把线段的和差转化为证线段相等，也可以用截长法把线段的和差转化为证线段相等．例6如图6，△ABC中，AB=AC，E为AB的中点，在AB延长线上取一点D，使BD=BA．求证CD=2CE．证明取CD的中点F，连结BF，可证出△BCE≌△BCF．∴CF=CE．[来源:学科网ZXXK]又本例用折半法证明线段的倍分问题，也可以用加倍法证明线段的倍分问题．[来源:学科网]6．证角的和差倍分例7如图7，已知E是正方形ABCD的边CD的中点，F是CE的中点．求证∠BAF=2∠DAE．证明

5、取BC的中点G，连结AG并延长交DC的延长线于H点．设正方形的边长为a，则可证△ABG≌△HCG．∴CH＝AB＝a，∠H＝∠1，∴∠3=∠H，∴∠1=∠3，在△ABG和△ADE中，[来源:学科网]∵AB=AD，∠B=∠D，BG=DE，∴△ABG≌△ADE，∴∠1=∠2，∴∠BAF=2∠DAE．7．证两直线垂直[来源:学科网]例8如图8，已知梯形ABCD中，CD∥AB，M为腰AD上的一点，若AB＋CD=BC，MC平分∠DCB．求证BM⊥MC．证明延长BA至E，使AE=DC，连结CE交DA于M′．可证△EAM′≌△CDM′．∴EM′＝CM′．[来源:学.科.网]∵

6、AB＋CD=BC，∴AB＋AE=BC．即BC=BE，[来源:学_科_网]在等腰三角形BCE中，BC=BE，EM′=CM′，∴BM′⊥M′C，∠BCE=∠CEB．又由于∠ECD=∠CEA．∴∠ECD=∠ECB．即CM′是∠DCB的平分线．因此M′与M重合．故BM⊥MC．8．证两直线平行例9已知如图9，AB=CD，AD=BC，求证AB∥DC，AD∥BC．证明连结BD．在△ABD和△CDB中，∵AB=CD，AD=BC，BD=DB，∴△ABD≌△CDB，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴AB∥DC，AD∥BC．