2014届高三数学辅导精讲精练18

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1、2014届高三数学辅导精讲精练181．已知函数f(x)＝x2－8lnx，g(x)＝－x2＋14x.(1)求函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)若函数f(x)与g(x)在区间(a，a＋1)上均为增函数，求a的取值范围；(3)若方程f(x)＝g(x)＋m有唯一解，试求实数m的值．解析　(1)因为f′(x)＝2x－，所以切线的斜率k＝f′(1)＝－6.又f(1)＝1，故所求的切线方程为y－1＝－6(x－1)．即y＝－6x＋7.(2)因为f′(x)＝，又x>0，所以当x>2时，f′(x)>0；当0

2、(2，＋∞)上单调递增，在(0,2)上单调递减．又g(x)＝－(x－7)2＋49，所以g(x)在(－∞，7)上单调递增，在(7，＋∞)上单调递减．欲使函数f(x)与g(x)在区间(a，a＋1)上均为增函数，则解得2≤a≤6.(3)原方程等价于2x2－8lnx－14x＝m，令h(x)＝2x2－8lnx－14x，则原方程即为h(x)＝m.因为当x>0时原方程有唯一解，所以函数y＝h(x)与y＝m的图像在y轴右侧有唯一的交点．又h′(x)＝4x－－14＝，且x>0，所以当x>4时，h′(x)>0；当0

3、)上单调递增，在(0,4)上单调递减，故h(x)在x＝4处取得最小值，从而当x>0时原方程有唯一解的充要条件是m＝h(4)＝－16ln2－24.2．(2013·衡水调研)设函数f(x)＝x2＋2x－2ln(1＋x)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当x∈[－1，e－1]时，是否存在整数m，使不等式m0，得函数f(x)的定义域为(－1，＋∞)．f′(x)＝2x＋2－＝.由f′(x)>0，得x>0；由f′(x)<0，得－1

4、(x)的单调递增区间是(0，＋∞)，单调减区间是(－1,0)．17(2)由(1)知，f(x)在[－1,0]上单调递减，在[0，e－1]上单调递增．∴f(x)min＝f(0)＝0.又f(－1)＝＋1，f(e－1)＝e2－e，且e2－3>＋1，∴x∈[－1，e－1]时，f(x)max＝e2－e.∵不等式m

5、1)当a＝－1时，确定f(x)的单调性和极值；(2)当a＝－1时，证明：f(x)＋>；(3)是否存在实数a，使f(x)的最小值为3，如果存在，求出a的值；如果不存在，请说明理由．解析　(1)∵f(x)＝－x－ln(－x)，f′(x)＝－1－＝－，∴当－e≤x<－1时，f′(x)<0，此时f(x)单调递减；当－10，此时f(x)单调递增．∴f(x)的极小值为f(－1)＝1.(2)由(1)知f(x)在区间[－e,0)上有唯一的极小值1，即f(x)在区间[－e,0)上的最小值为1，即f(x)min＝1.所证不等式即f(x)>－

6、.令h(x)＝－，则h′(x)＝.当－e≤x<0时，h′(x)≤0，故h(x)在[－e,0)上单调递减．∴h(x)max＝h(－e)＝＋<＋＝1＝f(x)min.∴当a＝－1时，f(x)＋>.(3)假设存在实数a，使f(x)＝ax－ln(－x)的最小值为3.f′(x)＝a－(x∈17[－e,0))．①若a≥－，由于x∈[－e,0)，则f′(x)＝a－≥0.∴函数f(x)＝ax－ln(－x)在[－e,0)上是增函数．∴f(x)min＝f(－e)＝－ae－1＝3，解得a＝－<－，与a≥－矛盾，舍去．②若a<－，则当－e≤x<时，f′(x)＝a－<0

7、，此时f(x)＝ax－ln(－x)是减函数．当0，此时f(x)＝ax－ln(－x)是增函数．∴f(x)min＝f()＝1－ln(－)＝3，解得a＝－e2.由①②知，存在实数a＝－e2，使f(x)的最小值为3.4．(2013·山东济宁一模)已知函数f(x)＝x－lnx，g(x)＝.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求证：对任意的m，n∈(0，e]，都有f(m)－g(n)>.(注：e≈2.71828…是自然对数的底数．)解析　(1)∵f(x)＝x－lnx(x>0)，∴f′(x)＝1－＝(x>0)．由f(x)>0，得

8、x>1，由f(x)<0，得0