2014届高三数学辅导精讲精练18.doc

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1、2014届高三数学辅导精讲精练181.已知函数f(x)=x2-8lnx,g(x)=-x2+14x.(1)求函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)若函数f(x)与g(x)在区间(a,a+1)上均为增函数,求a的取值范围;(3)若方程f(x)=g(x)+m有唯一解,试求实数m的值.解析 (1)因为f′(x)=2x-,所以切线的斜率k=f′(1)=-6.又f(1)=1,故所求的切线方程为y-1=-6(x-1).即y=-6x+7.(2)因为f′(x)=,又x>0,所以当x>2时,f′(x)>0;当0

2、x)<0.即f(x)在(2,+∞)上单调递增,在(0,2)上单调递减.又g(x)=-(x-7)2+49,所以g(x)在(-∞,7)上单调递增,在(7,+∞)上单调递减.欲使函数f(x)与g(x)在区间(a,a+1)上均为增函数,则解得2≤a≤6.(3)原方程等价于2x2-8lnx-14x=m,令h(x)=2x2-8lnx-14x,则原方程即为h(x)=m.因为当x>0时原方程有唯一解,所以函数y=h(x)与y=m的图像在y轴右侧有唯一的交点.又h′(x)=4x--14=,且x>0,所以当x>4时,h′(x)>0;当0

3、4时,h′(x)<0.即h(x)在(4,+∞)上单调递增,在(0,4)上单调递减,故h(x)在x=4处取得最小值,从而当x>0时原方程有唯一解的充要条件是m=h(4)=-16ln2-24.2.(2013·衡水调研)设函数f(x)=x2+2x-2ln(1+x).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)当x∈[-1,e-1]时,是否存在整数m,使不等式m0,得函数f(x)的定义域为(-1,+∞).f′(x)=2x+2-=.由f

4、′(x)>0,得x>0;由f′(x)<0,得-1+1,∴x∈[-1,e-1]时,f(x)max=e2-e.∵不等式m

5、知函数f(x)=ax-ln(-x),x∈[-e,0),其中e是自然对数的底数,a∈R.(1)当a=-1时,确定f(x)的单调性和极值;(2)当a=-1时,证明:f(x)+>;(3)是否存在实数a,使f(x)的最小值为3,如果存在,求出a的值;如果不存在,请说明理由.解析 (1)∵f(x)=-x-ln(-x),f′(x)=-1-=-,∴当-e≤x<-1时,f′(x)<0,此时f(x)单调递减;当-10,此时f(x)单调递增.∴f(x)的极小值为f(-1)=1.(2)由(1)知f(x)在区间[-e,0)

6、上有唯一的极小值1,即f(x)在区间[-e,0)上的最小值为1,即f(x)min=1.所证不等式即f(x)>-.令h(x)=-,则h′(x)=.当-e≤x<0时,h′(x)≤0,故h(x)在[-e,0)上单调递减.∴h(x)max=h(-e)=+<+=1=f(x)min.∴当a=-1时,f(x)+>.(3)假设存在实数a,使f(x)=ax-ln(-x)的最小值为3.f′(x)=a-(x∈17[-e,0)).①若a≥-,由于x∈[-e,0),则f′(x)=a-≥0.∴函数f(x)=ax-ln(-x)在[-e,0)上是增函数.

7、∴f(x)min=f(-e)=-ae-1=3,解得a=-<-,与a≥-矛盾,舍去.②若a<-,则当-e≤x<时,f′(x)=a-<0,此时f(x)=ax-ln(-x)是减函数.当0,此时f(x)=ax-ln(-x)是增函数.∴f(x)min=f()=1-ln(-)=3,解得a=-e2.由①②知,存在实数a=-e2,使f(x)的最小值为3.4.(2013·山东济宁一模)已知函数f(x)=x-lnx,g(x)=.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)求证:对任意的m,n∈(0,e],都有f(m)-

8、g(n)>.(注:e≈2.71828…是自然对数的底数.)解析 (1)∵f(x)=x-lnx(x>0),∴f′(x)=1-=(x>0).由f(x)>0,得x>1,由f(x)<0,得0

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