专题三：数列练习-教师版-苏深强

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1、一、选择题1．在等差数列{an}中，a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝100，则3a9－a13的值为A．20　　　　　　　　　B．30C．40D．50解析　设公差为d，由a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝5a7＝100，a7＝20，得3a9－a13＝3(a7＋2d)－(a7＋6d)＝2a7＝40.答案　C2．(2011·天津)已知{an}为等差数列，其公差为－2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为{an}的前n项和，n∈N＋，则S10的值为A．－110B．－90C．90D．110解析　∵a3＝a1＋

2、2d＝a1－4，a7＝a1＋6d＝a1－12，a9＝a1＋8d＝a1－16，又∵a7是a3与a9的等比中项，∴(a1－12)2＝(a1－4)·(a1－16)，解得a1＝20.∴S10＝10×20＋×10×9×(－2)＝110.答案　D3．(2011·郑州第一次质检)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且＝，则等于A.B.C.D.解析　设a1＋a2＋a3＋a4＝A1，a5＋a6＋a7＋a8＝A2，a9＋a10＋a11＋a12＝A3，a13＋a14＋a15＋a16＝A4，∵{an}为等差数列，∴A1

3、、A2、A3、A4也成等差数列，＝＝，不妨设A1＝1，则A2＝2，A3＝3，A4＝4，＝＝＝，故选D.答案　D4．等比数列{an}的公比q＜0，已知a2＝1，an＋2＝an＋1＋2an，则{an}的前2010项和等于A．2010B．－1C．1D．0解析　由an＋2＝an＋1＋2an，得qn＋1＝qn＋2qn－1，即q2－q－2＝0，又q＜0，解得q＝－1，又a2＝1，∴a1＝－1，S2010＝＝0.故选D.答案　D5．(2011·江西)已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＋Sm＝Sn＋m，且a

4、1＝1，那么a10＝A．1B．9C．10D．55解析　∵Sn＋Sm＝Sn＋m，且a1＝1，∴S1＝1.可令m＝1，得Sn＋1＝Sn＋1，∴Sn＋1－Sn＝1.即当n≥1时，an＋1＝1，∴a10＝1.答案　A6．已知数列{an}中，a2＝102，an＋1－an＝4n，则数列的最小项是A．第6项B．第7项C．第8项D．第9项解析　根据an＋1－an＝4n，得a2－a1＝4，故a1＝98，由于an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝98＋4×1＋4×2＋…＋4×(n－1)＝

5、98＋2n(n－1)，所以＝＋2n－2≥2－2＝26，当且仅当＝2n，即n＝7时等号成立．故选B.答案　B二、填空题7．(2011·湖南)设Sn是等差数列{an}(n∈N＋)的前n项和，且a1＝1，a4＝7，则S5＝________.解析　设等差数列的公差为d.由a1＝1，a4＝7，得3d＝a4－a1＝6，故d＝2，∴a5＝9，S5＝＝25.答案　258．等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝6，S4＝30，则S6＝________.解析　在等比数列{an}中S2，S4－S2，S6－S4成等比

6、数列，∵S2＝6，S4－S2＝24，∴S6－S4＝＝96，∴S6＝S4＋96＝126.答案　1269．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n－an，则数列{an}的通项公式是________．解析　由于Sn＝2n－an，所以Sn＋1＝2(n＋1)－an＋1，后式减去前式，得Sn＋1－Sn＝2－an＋1＋an，即an＋1＝an＋1，变形为an＋1－2＝(an－2)，则数列{an－2}是以a1－2为首项，为公比的等比数列．又a1＝2－a1，即a1＝1.则an－2＝(－1)n－1，所以an＝2－

7、n－1.答案　2－n－1三、解答题10．已知等差数列{an}满足a2＝2，a5＝8.(1)求{an}的通项公式；(2)各项均为正数的等比数列{bn}中，b1＝1，b2＋b3＝a4，求{bn}的前n项和Tn.解析　(1)设等差数列{an}的公差为d，则由已知得，∴a1＝0，d＝2.∴an＝a1＋(n－1)d＝2n－2.(2)设等比数列{bn}的公比为q，则由已知得q＋q2＝a4，∵a4＝6，∴q＝2或q＝－3.∵等比数列{bn}的各项均为正数，∴q＝2.∴{bn}的前n项和Tn＝＝＝2n－1.11．

8、(2011·大纲全国卷)设数列{an}满足a1＝0且－＝1.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝，记Sn＝k，证明：Sn＜1.解析　(1)由题设－＝1，即是公差为1的等差数列，又＝1，故＝n.所以an＝1－.(2)证明　由(1)得bn＝＝＝－，Sn＝k＝＝1－＜1.12．定义一种新运算*，满足n*k＝nλk－1(n，k∈N＋，λ为非零常数)．(1)对于任意给定的k值，设an＝n*k(n∈N＋)，求证：数列{an}是等差数列；(2)对于任意给定的n值，设bk＝n*k(k∈N＋)