2018版人教a版高中数学必修二同步学习讲义：第四章圆与方程章末复习课含答案

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1、2018版人教A版高中数学必修二同步学习讲义学习目标　1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识.2.培养综合运用知识解决问题的能力，能灵活、熟练运用待定系数法求解圆的方程，能解决直线与圆的综合问题，并学会运用数形结合的数学思想．1．圆的方程(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．2．点和圆的位置关系设点P(x0，y0)及圆的方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(1)(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔点P在圆外．(2)(x0－a)2＋(y0－b)2

2、3)(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点P在圆上．3．直线与圆的位置关系设直线l与圆C的圆心之间的距离为d，圆的半径为r，则d>r→相离；d＝r→相切；dr1＋r2d＝r1＋r2

3、r1－r2

4、

5、r1－r2

6、d<

7、r1－r2

8、5.求圆的方程时常用的四个几何性质152018版人教A版高中数学必修二同步学习讲义6．与圆有关的最值问题的常见类型(1)形如μ＝形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．(2)形如t＝ax＋by

9、形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点距离的平方的最值问题．7．计算直线被圆截得的弦长的常用方法(1)几何方法运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算．(2)代数方法运用根与系数的关系及弦长公式

10、AB

11、＝

12、xA－xB

13、＝.注：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法．8．空间中两点的距离公式空间中点P1(x1，y1，z1)，点P2(x2，y2，z2)之间的距离

14、P1P2

15、＝.类型一　求圆的方程例1　根据条件求下列圆的方程．(1)求经过A(6,5)，B(0,1)两点，并且圆心在直线

16、3x＋10y＋9＝0上的圆的方程；(2)求半径为，圆心在直线y＝2x上，被直线x－y＝0截得的弦长为4的圆的方程．解　(1)由题意知，线段AB的垂直平分线方程为3x＋2y－15＝0，∴由解得∴圆心C(7，－3)，半径为r＝

17、AC

18、＝.∴所求圆的方程为(x－7)2＋(y＋3)2＝65.(2)方法一　设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则圆心坐标为(a，b)，半径为r＝，152018版人教A版高中数学必修二同步学习讲义圆心(a，b)到直线x－y＝0的距离为d＝.由半弦长，弦心距，半径组成直角三角形，得d2＋()2＝r2，即＋8＝10，∴(a－b)2＝4.又∵b＝2a，∴a

19、＝2，b＝4或a＝－2，b＝－4，∴所求圆的方程为(x－2)2＋(y－4)2＝10或(x＋2)2＋(y＋4)2＝10.方法二　设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝10，∵圆心C(a，b)在直线y＝2x上，∴b＝2a.由圆被直线x－y＝0截得的弦长为4，将y＝x代入(x－a)2＋(y－b)2＝10，得2x2－2(a＋b)x＋a2＋b2－10＝0.设直线y＝x交圆C于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

20、AB

21、＝＝＝4，∴(x1＋x2)2－4x1x2＝16.∵x1＋x2＝a＋b，x1x2＝，∴(a＋b)2－2(a2＋b2－10)＝16，即a－b＝±2.又∵b＝2a，∴或∴所

22、求圆的方程为(x－2)2＋(y－4)2＝10或(x＋2)2＋(y＋4)2＝10.反思与感悟　求圆的方程主要是根据圆的标准方程和一般方程，利用待定系数法求解，采用待定系数法求圆的方程的一般步骤为：第一步：选择圆的方程的某一形式．第二步：由题意得a，b，r(或D，E，F)的方程(组)．第三步：解出a，b，r(或D，E，F)．第四步：代入圆的方程．注：解题时充分利用圆的几何性质可获得解题途径，减少运算量，例如：圆的切线垂直于经过切点的半径；圆心与弦的中点连线垂直于弦；当两圆相交时，连心线垂直平分两圆的公共弦；当两圆相切时，连心线过切点等．152018版人教A版高中数学必修二同步学习讲

23、义跟踪训练1　如图所示，圆C与x轴相切于点T(1,0)，与y轴正半轴交于两点A，B(B在A的上方)，且

24、AB

25、＝2，则圆C的标准方程为________．答案　(x－1)2＋(y－)2＝2解析　取AB的中点D，连接CD，AC，则CD⊥AB.由题意知，

26、AD

27、＝

28、CD

29、＝1，故

30、AC

31、＝＝，即圆C的半径为.又因为圆C与x轴相切于点T(1,0)，所以圆心C(1，)，故圆的标准方程为(x－1)2＋(y－)2＝2.类型二　直线与圆的位置关系例2　已知点M(3,1)，直线ax－y＋4＝0及圆(x－1)2