2018版人教a版高中数学必修二同步学习讲义：第四章圆与方程4.1.2含答案

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1、2018版人教A版高中数学必修二同步学习讲义4.1.2　圆的一般方程学习目标　1.掌握圆的一般方程及其特点.2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的位置和半径的大小.3.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程．知识点　圆的一般方程思考1　方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0，x2＋y2－2x＋4y＋6＝0分别表示什么图形？答案　对方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0配方，得(x－1)2＋(y＋2)2＝4，表示以(1，－2)为圆心，2为半径的圆，对方程x2＋y2－2x＋4y＋6＝0配方，得(x－1)2＋(y＋2)2＝－1，不表示任何图形．思考2　

2、方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0是否表示圆？答案　对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0配方并移项，得(x＋)2＋(y＋)2＝，①当D2＋E2－4F＞0时，方程表示以(－，－)为圆心，为半径长的圆；②当D2＋E2－4F＝0时，方程只有实数解x＝－，y＝－，它表示一个点(－，－)；③当D2＋E2－4F＜0时，方程无实数解，它不表示任何图形．梳理方程条件图形x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0D2＋E2－4F<0不表示任何图形D2＋E2－4F＝0表示一个点(－，－)D2＋E2－4F>0表示以(－，－)为圆心，以为半径的圆类型一　圆的一般方程的概念例1　若方程x2＋y2＋2mx

3、－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求实数m的取值范围，并写出圆心坐标和半径．解　由表示圆的条件，得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0，112018版人教A版高中数学必修二同步学习讲义解得m<，即实数m的取值范围为(－∞，)．圆心坐标为(－m,1)，半径为.反思与感悟　形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法(1)由圆的一般方程的定义，令D2＋E2－4F>0成立，则表示圆，否则不表示圆．(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解．应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0这种标准形式，若不

4、是，则要化为这种形式再求解．跟踪训练1　(1)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标为________，半径为________．(2)点M、N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M、N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的面积为________．答案　(1)(－2，－4)　5　(2)9π解析　(1)由圆的一般方程的形式知，a＋2＝a2，得a＝2或－1.当a＝2时，该方程可化为x2＋y2＋x＋2y＋＝0，∵D2＋E2－4F＝12＋22－4×＜0，∴a＝2不符合题意．当a＝－1时，方程可化为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，即

5、(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，∴圆心坐标为(－2，－4)，半径为5.(2)圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0的圆心坐标为(－，－1)，由圆的性质知，直线x－y＋1＝0经过圆心，∴－＋1＋1＝0，得k＝4，∴圆x2＋y2＋4x＋2y－4＝0的半径为＝3，∴该圆的面积为9π.类型二　求圆的一般方程例2　已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)．112018版人教A版高中数学必修二同步学习讲义(1)求△ABC的外接圆的方程；(2)若点M(a,2)在△ABC的外接圆上，求a的值．解　(1)设△ABC外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，由题意，得解得即△AB

6、C的外接圆的方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0.(2)由(1)知，△ABC的外接圆的方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0，∵点M(a,2)在△ABC的外接圆上，∴a2＋22－8a－2×2＋12＝0，即a2－8a＋12＝0，解得a＝2或6.引申探究若本例中将点“C(3，－1)”改为“圆C过A，B两点且圆C关于直线y＝－x对称”，其他条件不变，如何求圆C的方程？解　∵kAB＝＝，AB的中点坐标为(，)，∵AB的垂直平分线方程为y－＝－3(x－)．联立得即圆心C的坐标为(，－)，r＝＝，∴圆C的方程为(x－)2＋(y＋)2＝.反思与感悟　应用待定系数法求圆的方程时应

7、注意(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心坐标或半径列方程，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F.跟踪训练2　已知一圆过P(4，－2)，Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为4，求圆的方程．解　方法一　(待定系数法)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将P，Q的坐标分别代入上式，得112018版人教A版高中数学必修二同步学习讲义令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，　　　　　　③由已知得

8、y1－y2

9、＝4，其中y1，y2是方程