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《2018版人教a版高中数学必修二同步学习讲义：第四章圆与方程4.2.3含答案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2018版人教A版高中数学必修二同步学习讲义4.2.3 直线与圆的方程的应用学习目标 1.理解直线与圆的位置关系的几何性质.2.会建立平面直角坐标系，利用直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系解决一些实际问题.3.会用“数形结合”的数学思想解决问题．知识点 坐标法解决几何问题的步骤用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论．类型一 直线与圆的方程的应用例1 某圆拱桥的圆拱跨度为20m，拱高
2、为4m．现有一船，宽10m，水面以上高3m，这条船能否从桥下通过？解 建立如图所示的坐标系．依题意，有A(－10,0)，B(10,0)，P(0,4)，D(－5,0)，E(5,0)．设所求圆的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，于是有解此方程组，得a＝0，b＝－10.5，r＝14.5，所以这座圆拱桥的拱圆的方程是x2＋(y＋10.5)2＝14.52(0≤y≤4)．把点D的横坐标x＝－5代入上式，得y≈3.1.由于船在水面以上高3m,3＜3.1，所以该船可以从桥下通过．反思与感悟 解决直线与圆的实际应用题的步骤122018版人教A版高中数学必修二
3、同步学习讲义(1)审题：从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知．(2)建系：建立适当的直角坐标系，用坐标和方程表示几何模型中的基本元素．(3)求解：利用直线与圆的有关知识求出未知．(4)还原：将运算结果还原到实际问题中去．跟踪训练1 如图为一座圆拱桥的截面图，当水面在某位置时，拱顶离水面2m，水面宽12m，当水面下降1m后，水面宽为________米．答案 2解析 如图，以圆拱桥顶为坐标原点，以过圆拱顶点的竖直直线为y轴，建立直角坐标系．设圆心为C，圆的方程设为x2＋(y＋r)2＝r2(r＞0)，水面所在弦的端点为A，B，则A(6，－2)．将A(6，－2)
4、代入圆的方程，得r＝10，∴圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100.当水面下降1米后，可设点A′(x0，－3)(x0＞0)，将A′(x0，－3)代入圆的方程，得x0＝，∴当水面下降1米后，水面宽为2x0＝2(米)．类型二 坐标法证明几何问题例2 如图所示，在圆O上任取C点为圆心，作圆C与圆O的直径AB相切于点D，圆C与圆O交于点E，F，且EF与CD相交于H，求证：EF平分CD.证明 以AB所在直线为x轴，O为坐标原点，建立直角坐标系，如图所示，设
5、AB
6、＝2r，D(a,0)，122018版人教A版高中数学必修二同步学习讲义则
7、CD
8、＝，∴C(a，)，∴圆O
9、：x2＋y2＝r2，圆C：(x－a)2＋(y－)2＝r2－a2.两方程作差，得直线EF的方程为2ax＋2y＝r2＋a2.令x＝a，得y＝，∴H(a，)，即H为CD中点，∴EF平分CD.反思与感悟 (1)平面几何问题通常要用坐标法来解决，具体步骤如下：①建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题的几何元素，将实际或平面问题转化为代数问题；②通过代数运算，解决代数问题；③把代数运算结果“翻译”成实际或几何结论．(2)建立适当的直角坐标系应遵循的三个原则：①若曲线是轴对称图形，则可选它的对称轴为坐标轴；②常选特殊点作为直角坐标系的原点；③尽量使已知点位于坐标
10、轴上．建立适当的直角坐标系，会简化运算过程．跟踪训练2 如图，直角△ABC的斜边长为定值2m，以斜边的中点O为圆心作半径为n的圆，直线BC交圆于P，Q两点，求证：
11、AP
12、2＋
13、AQ
14、2＋
15、PQ
16、2为定值．证明 如图，以O为坐标原点，以直线BC为x轴，建立直角坐标系，122018版人教A版高中数学必修二同步学习讲义于是有B(－m,0)，C(m,0)，P(－n,0)，Q(n,0)．设A(x，y)，由已知，点A在圆x2＋y2＝m2上．则
17、AP
18、2＋
19、AQ
20、2＋
21、PQ
22、2＝(x＋n)2＋y2＋(x－n)2＋y2＋4n2＝2x2＋2y2＋6n2＝2m2＋6n2(定值
23、)．类型三 直线与圆位置关系的应用例3 为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图)，它的附近有一条公路，从基地中心O处向东走1km是储备基地的边界上的点A，接着向东再走7km到达公路上的点B；从基地中心O向正北走8km到达公路上的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D，修建一条由D通往公路BC的专用线DE，求DE的最短距离．解 以O为坐标原点，OB，OC所在的直线分别为x轴和y轴，建立直角坐标系，则圆O的方程为x2＋y2＝1.因为点B(8,0)，C(0,8)，所以直线BC的方程为＋＝1，即x＋y＝8.当点D选在与直线BC平行的直线(距BC
24、较近的一条)与圆相切所成的切点处时，DE为最短距离．此时DE的最小
