2018版人教a版高中数学必修二同步学习讲义：第四章圆与方程4.3.2含答案

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1、2018版人教A版高中数学必修二同步学习讲义4.3.2　空间两点间的距离公式学习目标　1.了解由特殊到一般推导空间两点间的距离公式的过程.2.会应用空间两点的距离公式求空间中两点间的距离．知识点　空间两点间的距离公式思考　如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则其对角线AC1的长等于多少？答案　.梳理　(1)在空间直角坐标系Oxyz中，任意一点P(x，y，z)与原点间的距离

2、OP

3、＝.(2)空间中P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)之间的距离

4、P1P2

5、＝.类型一　求空间两点间的距离例1　如图，正方体ABCD－A′B′

6、C′D′的棱长为a，

7、AN

8、＝2

9、CN

10、，

11、BM

12、＝2

13、MC′

14、，求

15、MN

16、的长．解　建立如图所示空间直角坐标系，过M作MF垂直BC于F，连接NF，显然MF垂直于平面ABCD，所以MF⊥NF，因为

17、BM

18、＝2

19、MC′

20、，所以

21、BF

22、＝2

23、FC

24、.又

25、AN

26、＝2

27、CN

28、，所以NF∥AB，102018版人教A版高中数学必修二同步学习讲义所以

29、NF

30、＝

31、FC

32、＝

33、AB

34、＝，同理

35、MF

36、＝

37、CC′

38、＝，因此，点N的坐标为，点M的坐标为，所以

39、MN

40、＝＝a.反思与感悟　在平面直角坐标系中，我们学习了很多性质，但这些性质在空间直角坐标系中并不能全部都适用．如平面直角坐标系中的中点坐标公式

41、，两点间距离公式可类比到三维空间中，而对直线方程及一些判定定理、性质则在三维空间中不适用．跟踪训练1　如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，

42、C1C

43、＝

44、CB

45、＝

46、CA

47、＝2，AC⊥CB，D，E分别是棱AB，B1C1的中点，F是AC的中点，求DE，EF的长度．解　以点C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．∵

48、C1C

49、＝

50、CB

51、＝

52、CA

53、＝2，∴C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C1(0,0,2)，B1(0,2,2)，由中点坐标公式，可得D(1,1,0)，E(0,1,2)，F(1,0,0)，∴

54、DE

55、

56、＝＝，

57、EF

58、＝＝.类型二　求空间点的坐标例2　已知点A(4,5,6)，B(－5,0,10)，在z轴上有一点P，使

59、PA

60、＝

61、PB

62、，则点P的坐标为_____．答案　(0,0,6)解析　设P(0,0，z)，由

63、PA

64、＝

65、PB

66、，得＝，102018版人教A版高中数学必修二同步学习讲义解得z＝6.∴点P的坐标为(0,0,6)．引申探究　1．若本例中已知条件不变，问能否在z轴上找一点P，使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形？解　与例2的结论一样，P(0,0,6)．2．若本例中“在z轴上”改为“在y轴上”，其他条件不变，结论又如何？解　设P(0，y,0)，由

67、PA

68、＝

69、PB

70、，得＝

71、，解得y＝－.∴点P的坐标为(0，－，0)．反思与感悟　(1)若已知点到定点的距离以及点在特殊位置，则可直接设出该点坐标，利用待定系数法求解点的坐标．(2)若已知一点到两个定点的距离之间的关系，以及其他的一些条件，则可以列出关于点的坐标的方程进行求解．跟踪训练2　设点P在x轴上，使它到点P1(0，，3)的距离是到点P2(0,1，－1)的距离的2倍，求点P的坐标．解　因为P在x轴上，所以设P点坐标为(x,0,0)．因为

72、PP1

73、＝2

74、PP2

75、，所以＝2，所以x＝±1，所以点P的坐标为(1,0,0)或(－1,0,0)．类型三　空间两点间距离公式的应用例3　已知正方形ABCD、AB

76、EF的边长都是1，且平面ABCD⊥平面ABEF，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若

77、CM

78、＝

79、BN

80、＝a(0＜a＜)．(1)求

81、MN

82、的长；(2)当a为何值时，

83、MN

84、的长最小．解　∵平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，AB⊥BE，∴BE⊥平面ABCD，∴AB、BC、BE两两垂直．过点M作MG⊥AB，MH⊥BC，垂足分别为G、H，连接NG，易证NG⊥AB.∵

85、CM

86、＝

87、BN

88、＝a，∴

89、CH

90、＝

91、MH

92、＝

93、BG

94、＝

95、GN

96、＝a，102018版人教A版高中数学必修二同步学习讲义∴以B为原点，以BA、BE、BC所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示

97、的空间直角坐标系Bxyz，则M，N.(1)

98、MN

99、＝＝＝.(2)由(1)得当a＝时，

100、MN

101、最短，最短为，这时M、N恰好为AC、BF的中点．反思与感悟　距离是几何中的基本度量问题，无论是在几何问题中，还是在实际问题中，都会涉及距离的问题，它的命题方向往往有三个：(1)求空间任意两点间的距离；(2)判断几何图形的形状；(3)利用距离公式求最值．跟踪训练3　如图所示，正方体棱长为1，以正方体的同一顶点上的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系Oxyz，点P在正方体的体对角线AB上，点Q在正方体的棱CD