2018版高中数学苏教版必修一学案:2.2.2 函数的奇偶性

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1、2017-2018学年苏教版高中数学必修1学案2.2.2 函数的奇偶性学习目标 1.理解函数奇偶性的定义.2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法.3.会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题.知识点一 函数奇偶性的几何特征思考 下列函数图象中,关于y轴对称的有哪些?关于原点对称的呢?   梳理 图象关于y轴对称的函数称为______函数,图象关于原点对称的函数称为______函数.知识点二 函数奇偶性的定义思考1 为什么不直接用图象关于y轴(或原点)对称来定义函数的偶奇性?   112017-2018学年苏教版高中数学必修1学案思考2 利用点对称来刻画图象对称有什么好处?   梳理 

2、设函数y=f(x)的定义域为A.如果对于任意的x∈A,都有f(-x)=f(x),那么称函数y=f(x)是偶函数;如果对于任意的x∈A,都有f(-x)=-f(x),那么称函数y=f(x)是奇函数.如果函数f(x)是奇函数或偶函数,我们就说函数f(x)具有奇偶性.知识点三 奇(偶)函数的定义域特征思考 如果一个函数f(x)的定义域是(-1,1],那这个函数f(x)还具有奇偶性吗?     梳理 判断函数奇偶性要注意定义域优先原则,即首先要看定义域是否关于________对称.类型一 证明函数的奇偶性命题角度1 已知函数解析式,证明奇偶性例1 (1)证明f(x)=既非奇函数又非偶函数;

3、(2)证明f(x)=(x+1)(x-1)是偶函数;112017-2018学年苏教版高中数学必修1学案(3)证明f(x)=+既是奇函数又是偶函数.    反思与感悟 利用定义法判断函数是否具有奇偶性时,首先应看函数定义域是否关于原点对称,即对于定义域内的任意一个x,则-x也一定属于定义域.跟踪训练1 (1)证明f(x)=(x-2)既非奇函数又非偶函数;(2)证明      命题角度2 证明分段函数的奇偶性例2 判断函数f(x)=的奇偶性.    反思与感悟 分段函数也是函数,证明奇偶性也是抓住两点112017-2018学年苏教版高中数学必修1学案(1)定义域是否关于原点对称.(2)

4、对于定义域内的任意x,是否都有f(-x)=f(x)(或-f(x)),只不过对于不同的x,f(x)有不同的表达式,要逐段验证是否都有f(-x)=f(x)(或-f(x)).跟踪训练2 证明f(x)=是奇函数.     命题角度3 证明抽象函数的奇偶性例3 f(x),g(x)是定义在R上的奇函数,试判断y=f(x)+g(x),y=f(x)g(x),y=f[g(x)]的奇偶性.    反思与感悟 利用基本的奇(偶)函数,通过加减乘除、复合,可以得到新的函数,判断这些新函数的奇偶性,主要是代入-x,看总的结果.跟踪训练3 设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)

5、是偶函数,则下列结论中正确的是______.(填序号)①f(x)g(x)是奇函数;②f(x)g(x)是偶函数;③

6、f(x)

7、g(x)是偶函数;④f(x)

8、g(x)

9、是奇函数.类型二 奇偶性的应用命题角度1 奇(偶)函数图象的对称性的应用112017-2018学年苏教版高中数学必修1学案例4 定义在R上的奇函数f(x)在[0,+∞)上的图象如图所示.(1)画出f(x)的图象;(2)解不等式xf(x)>0.引申探究 将本例中的“奇函数”改为“偶函数”,重做该题.     反思与感悟 鉴于奇(偶)函数图象关于原点(y轴)对称,可以用这一特性去画图,求值,求解析式,研究单调性.跟踪训练4

10、 已知奇函数f(x)的定义域为[-5,5],且在区间[0,5]上的图象如图所示.112017-2018学年苏教版高中数学必修1学案(1)画出在区间[-5,0]上的图象;(2)写出使f(x)<0的x的取值集合.        命题角度2 利用函数奇偶性的定义求值例5 (1)若函数f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数,定义域为[a-1,2a],则a=________,b=________.(2)函数f(x)是定义域为R的奇函数,当x>0时,f(x)=-x+1,求当x<0时f(x)的解析式.    反思与感悟 函数奇偶性的定义有两处常用112017-2018学年苏教版高中数学必修1

11、学案(1)定义域关于原点对称.(2)对定义域内任意x,恒有f(-x)=f(x)(或-f(x))成立,常用这一特点得一个恒成立的等式,或对其中的x进行赋值.跟踪训练5 已知函数f(x)=为奇函数,则a+b=________.1.函数f(x)=0(x∈R)的奇偶性是________.2.函数f(x)=x(-1

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