四川省凉山州民族中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学 Word版含解析.docx

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2023-2024学年度高二3月月考数学试题考试时间：120分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名､班级､考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一､单选题（每小题5分，共40分）1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】求出集合，对整数的取值进行讨论，可求得集合，利用交集的定义可求得集合.【详解】因为，对于，当时，，当时，，当时，，当时，，综上所述，，因此，.故选：B.2.已知复数z满足，则其共轭复数（）A.B.C.D.【答案】B【解析】第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司 【分析】由复数除法以及共轭复数的概念即可得解.【详解】因为，所以.故选：B.3.等比数列的各项均为正数，且，则（）A.12B.10C.5D.【答案】B【解析】【分析】利用等比数列的性质，结合对数的运算法则即可得解.【详解】因为是各项均为正数的等比数列，，所以，即，则记，则，两式相加得，所以，即.故选：B.4.已知，且，则向量在向量上的投影向量为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据向量在向量上的投影公式进行计算即可.【详解】因为向量在向量上的投影向量为：，故选：C.5.若，则（）A.B.C.D.【答案】C第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司 【解析】【分析】根据二倍角公式以及诱导公式即可求解.【详解】由可得，故，故选：C6.函数f(x)的图象如图所示，下列数值排序正确的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由已知函数的图象，先判断它的单调性，然后根据函数图象斜率的变化，从而求解．【详解】观察函数的图象知：当时，单调递增，且当时，，随着逐渐增大，函数图象由陡逐渐变缓，，，，而（即点B）处切线的倾斜角比（即点A）处的倾斜角小，且均为锐角，，又是割线AB的斜率，显然，所以.故选：B7.函数的单调递增区间是（）第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司 A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】求出函数的定义域与导函数，再令，解得即可.【详解】函数的定义域为，且，令，解得，所以的单调递增区间为.故选：D8.如图，长方体中，，，M为的中点，过作长方体的截面交棱于N，下列正确的是（）①截面可能为六边形②存在点N，使得截面③若截面为平行四边形，则④当N与C重合时，截面面积为A.①②B.③④C.①③D.②④【答案】B【解析】第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司 【分析】利用点N的位置不同得到的截面的形状判断选项A，C，利用线面垂直的判定定理分析选项B，利用平面几何知识求相应的量结合梯形的面积公式求得截面的面积，从而可判断选项D．【详解】长方体中，过作长方体的截面交棱于N，设为的中点，根据点N的位置的变化分析可得，当时，截面为平行四边形，当时，截面为五边形，当，即点N与点C重合时，截面为梯形，故①错误，③正确；设截面，因为，所以，又平面，且平面，所以，又，所以平面，所以N只能与C重合才能使，因为显然不垂直平面，故此时不成立，故②错误；因为当N与C重合时，截面为梯形，如图所示，过M作垂直于于点，设梯形的高为h，，则由平面几何知识可得，第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司 解得，所以截面的面积为，故④正确．故选：B.二､多选题（每小题5分，共20分，少选3分，错选0分，全对5分）9.下列求导运算正确的是（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】根据导数的四则运算以及复合函数的导数，即可判断选项.【详解】，故A错误；，故B正确；，故C正确；，故D错误．故选：BC10.下列函数中是奇函数且在上单调递增的是（）A.B.C.D.【答案】AB【解析】【分析】AB选项，根据幂函数性质得到AB正确；C选项，不满足奇偶性；D选项，不满足单调性.【详解】A选项，为奇函数且在R上单调递增，满足要求，A正确；第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司 B选项，的定义域为R，且，故为奇函数，又，故在单调递增，B正确；C选项，为指数函数，结合图象可知其不是奇函数，C错误；D选项，，故当时，单调递减，D错误.故选：AB11.函数的图象可能是（）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】利用分类讨论及函数的单调性与导数的关系，结合函数的性质即可求解.【详解】由题意可知，函数的定义域为，当时，，函数在上单调递增，故B正确；当时，，，所以上单调递增，故D正确；当时，当时，；当时，；故A正确；C错误.故选：ABD.12.丹麦数学家琴生（Jensen）是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果，设函数在上的导函数为，在第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司 上的导函数为，若在上恒成立，则称函数在上为“凸函数”，以下四个函数在上是凸函数的是（　　）A.B.C.D.【答案】ABC【解析】【分析】根据凸函数的定义，求导，即可根据二阶导数的正负判断.【详解】对于A，由，得，则，因为，所以，所以此函数是凸函数；对于B，由，得，则，因为，所以，所以此函数是凸函数；对于C，由，得，则，因为，所以，所以此函数是凸函数；对于D，由，得，则，因为，所以，所以此函数不是凸函数，故选：ABC三､填空题（每小题5分，共20分）13.已知函数，则的最大值为_______；曲线在处的切线方程为_______．【答案】①.②.【解析】【分析】求出函数的导数，判断函数单调性，即可求得答案；根据导数的几何意义即可求得曲线在处的切线方程.【详解】由可得，第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司 当时，，当时，，故在上单调递增，在上单调递减，故；由，故曲线在处的切线方程为，即，故答案为：；14.若直线与曲线相切，则切点的横坐标为________．【答案】1【解析】【分析】求出函数的导函数，令，再利用导数说明函数的单调性，由，即可得到方程的解，从而得解.【详解】因为，所以，设函数，则，所以在定义域上单调递增，因为，所以方程的解为，则所求切点的横坐标为．故答案为：15.若函数在区间上单调递增，则取值范围为______．【答案】【解析】【分析】函数在区间上单调递增，转化为在上恒成立，即恒成立，利用基本不等式求最值可得答案.【详解】因为，所以，第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司 因为函数在区间上单调递增，所以在上恒成立，即时，恒成立，因为，当且仅当时等号成立，即，所以，故答案为：.16.已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】根据题意，构造函数，分与讨论，然后转化为恒成立，代入计算，即可得到结果.【详解】构造函数，其定义域为，则，当时，单调递增，不可能恒成立；当时，令，得或（舍去）．当时，；当时，，故在上有最大值，由题意知恒成立，即，令，则在上单调递减，且，故成立的充要条件是．第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司 故答案为：四､解答题（17题10分，其余每题12分，共70分）17.在中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且满足．（1）求角C的大小；（2）若，，求的面积．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据余弦定理，即可求解；（2）根据正弦定理以及二倍角公式，得到角和边的关系，再结合三角形的面积公式，即可求解.【小问1详解】，且，所以；【小问2详解】根据正弦定理，，所以或，当时，，，此时，不成立，当时，此时，则，的面积.18.2023世界科幻大会在成都举办，为了让同学们更好地了解科幻，某学校举行了以“科幻成都，遇见未来”为主题的科幻知识通关赛，并随机抽取了该校50名同学的通关时间（单位：分钟）作为样本，发现这些同学的通关时间均位于区间，然后把样本数据分成，，，，，六组，经过整理绘制成频率分布直方图（如图所示）．第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司 （1）计算a的值，并估算该校同学通关时间低于60分钟的概率；（2）拟在通关时间低于60分钟的样本数据对应的同学中随机选取2位同学赠送科幻大会入场券，求此2人的通关时间均位于区间的概率．【答案】（1），0.1（2）【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图的性质，求得，进而得到估计该校同学通关时间低于钟的概率；（2）根据题意得到通关时间位于区间和的人数，利用列举法求得基本事件的总数，以及所求事件中包含的基本事件的个数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解.【小问1详解】解：因为，所以，由所给频率分布直方图可知，50名同学通关时间低于钟的频率为，据此估计该校同学通关时间低于钟的概率为.【小问2详解】解：样本中同学通关时间位于区间的有人，即为，通关时间位于区间的有：（位），即为，，从这5名入样同学中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，分别为，，，，，，，，，，所抽取2人的通关时间均位于区间的结果有3种，即，，，故此2人的通关时间均位于区间的概率为．19.已知数列的前项和为.第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司 （1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据作差即可得解；（2）由（1）可得，利用裂项相消法计算可得.【小问1详解】数列的前项和为，当时，当时，所以，又当时，也成立，数列的通项公式为.【小问2详解】由（1）可得，设数列的前项和为，则.20.已知椭圆C：（，）的长轴为，短轴长为4．（1）求椭圆C的标准方程；第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司 （2）设直线l：与椭圆C交于不同两点A、B，且，求直线的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由长轴长和短轴长可得椭圆方程；（2）联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理和弦长公式即可求得m的值，则直线的方程可求.【小问1详解】由已知长轴为，短轴长为4，可得，，则椭圆C的标准方程为：；【小问2详解】依题意，解得，因为，可得，且，因为，解得，所以直线的方程为l：．21.在正四棱柱中，，点在线段上，且，点为中点.第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司 （1）求点到直线的距离；（2）求证：面.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）依题建系，求得相关点和向量的坐标，利用点到直线的距离的空间向量计算公式即可求得；（2）由（1）中所建的系求出的坐标，分别计算得到和，由线线垂直推出线面垂直.【小问1详解】如图,以为原点，以分别为轴正方向，建立空间直角坐标系，正四棱柱,为中点,则点到直线的距离为：.【小问2详解】第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司 由（1）可得，则，由可得，又由可得，又，故面.22.已知函数.（1）讨论函数的单调区间；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）【解析】【分析】（1）对函数求导，分别讨论和两种情况，即可求出结果；（2）先分离参数，将原式化为，构造函数，利用导数判断的单调性进而求出的最大值即可.【小问1详解】的定义域为，，当时，恒成立，所以的单调递减区间为,当时，令，则，所以的单调递增区间为，令，则，所以的单调递减区间为,综上：当时，的单调递减区间为，无增区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司 【小问2详解】当时，恒成立，即对恒成立，即对恒成立，令（），令（），则，令（），则，由得，，所以，所以在上单调递减，所以，即，所以在上单调递减，所以，令，则，所以在单调递增，令，则，所以单调递减，所以，所以.综上实数的取值范围为.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是分离参数得对恒成立，再设新函数（），对此求导研究其最值即可.第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司