四川省广安市华蓥中学2023-2024学年高二下学期开学考试数学 Word版含解析.docx

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四川省华蓥中学2025届2024年春开学考试数学试题一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知数列为等差数列，，，则公差为（）A.1B.3C.2D.4【答案】C【解析】【分析】利用等差数列的通项公式即可求解.【详解】因为数列为等差数列，，，所以，，解得：，，故选：C.2.直线的倾斜角大小（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】化简得到，根据计算得到答案.【详解】直线，即，，，故.故选：.【点睛】本题考查了直线的倾斜角，意在考查学生的计算能力.3.已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，且它的长轴长等于4，则椭圆的标准方程是（）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】由椭圆的离心率和长轴长，结合可得椭圆标准方程.【详解】由题意得，解得，所以椭圆方程为：，故选：A.4.已知空间三点，，，在直线上有一点满足，则点的坐标为()AB.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据空间向量的坐标表示与线性运算得到的坐标，利用垂直的向量满足数量积为0进行运算，求解即可．【详解】由O（0，0，0），A（﹣1，1，0），B（0，1，1），∴（﹣1，1，0），且点H在直线OA上，可设H（﹣λ，λ，0），则（﹣λ，λ﹣1，﹣1），又BH⊥OA，∴•0，即（﹣λ，λ﹣1，﹣1）•（﹣1，1，0）＝0，即λ+λ﹣1＝0，解得λ，∴点H（，，0）．故选B．【点睛】本题考查了空间向量的坐标表示与运算问题，注意共线向量的坐标表示，是基础题．5.已知圆，则，则圆M与圆N的公切线条数是（） A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】求出两圆圆心之间的距离，与半径之和、半径之差作比较可得出答案.【详解】圆，即表示以为圆心，半径等于2的圆，圆，表示以为圆心，半径等于1的的圆，两圆圆心的距离等于，小于两圆半径之和3，大于两圆半径之差的绝对值，故两圆相交，圆M与圆N的公切线条数为2，故选：B.【点睛】本题考查两圆的位置关系，考查公切线的条数.6.已知，向量在向量上的投影为，则与的夹角为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用平面向量的几何意义，列出方程求出与夹角的余弦值，即可得出夹角大小.【详解】记向量与向量的夹角为，在上的投影为.在上的投影为，，，.故选：B.7.如图，在中，是的中点，若，则实数的值是 A.B.1C.D.【答案】C【解析】【分析】以作为基底表示出，利用平面向量基本定理，即可求出．【详解】∵分别是的中点，∴.又，∴.故选C.【点睛】本题主要考查平面向量基本定理以及向量的线性运算，意在考查学生的逻辑推理能力．8.曲线的方程为，若直线的曲线有公共点，则的取值范围是A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据方程的几何意义可得曲线为线段，根据动点过定点结合斜率公式可求的取值范围.【详解】曲线C即为平面上到两个定点的距离的和等于定长的点的轨迹，但两个定点的距离为，故曲线C的轨迹为线段，而直线即，它是过定点，斜率为直线，要使直线与线段有公共点，即需故选：A.二､多选题：本题共4小题，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9.已知是椭圆上一点，是左､右焦点，下列选项中正确的是（）A.椭圆的焦距为2B.椭圆的离心率C.D.的面积的最大值是2【答案】BCD【解析】【分析】对于ABC，由椭圆的标准方程求得，再利用椭圆的定义与性质即可判断；对于D，由椭圆的几何性质与的面积公式即可判断．【详解】对于A，因为椭圆，所以知，所以椭圆的焦距为，故A错误；对于B，椭圆的离心率为，故B正确；对于C，由椭圆的定义可得，故C正确；对于D，设，由椭圆的几何性质可知，所以，即的面积的最大值是2，故D正确.故选：BCD．10.已知直线与圆，则（）A.直线与圆C相离B.直线与圆C相交C.圆C上到直线的距离为1的点共有2个D.圆C上到直线的距离为1的点共有3个【答案】BD【解析】【分析】根据直线与圆的位置关系可判断.【详解】由圆，可知其圆心坐标为，半径为， 圆心到直线的距离，所以可知选项B，D正确，选项A，C错误.故选：BD11.如图，在长方体中，，，，以直线，，分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，则（）A.点的坐标为，5，B.点关于点对称的点为，8，C.点关于直线对称的点为，5，D.点关于平面对称的点为，5，【答案】ACD【解析】【分析】对A，根据图示分析即可；对B，设点关于点对称的点为，再根据为的中点列式求解即可；对C，根据四边形为正方形判断即可；对D，根据平面求解即可【详解】对A，由图可得，的坐标为，5，，故A正确；对B，由图，，，设点关于点对称的点为则，解得，故，故B错误；对C，在长方体中，所以四边形为正方形，与垂直且平分， 即点关于直线对称的点为，选项C正确；对D，因为平面，故点关于平面对称的点为，即，选项D正确；故选：ACD.12.对于公差为1的等差数列{an}，a1＝1，公比为2的等比数列{bn}，b1＝2，则下列说法正确的是（　　）A.an＝nB.bn＝2n﹣1C.数列{lnbn}为等差数列D.数列{anbn}的前n项和为（n﹣1）2n+1+2【答案】ACD【解析】【分析】由等比数列和等差数列的通项公式，可判断A、B、C选项；由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可判断D选项．【详解】由公差为1的等差数列{an}，a1＝1，可得an＝1+n﹣1＝n，故A正确；由公比为2的等比数列{bn}，b1＝2，可得bn＝2×2n﹣1＝2n，故B错误；由lnbn＝ln2n＝nln2，可得数列{lnbn}是首项和公差均为ln2的等差数列，故C正确；设数列{anbn}的前n项和为Sn，Sn＝1×2+2×22+...+n×2n，2Sn＝1×22+2×23+...+n×2n+1，上面两式相减可得﹣Sn＝2+22+...+2n﹣n×2n+1n×2n+1，所以Sn＝2+（n﹣1）×2n+1，故D正确．故选：ACD．三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知直线，若，则与的距离为_______.【答案】【解析】【分析】由求得的值，再根据两平行线间的距离计算即可.【详解】解：直线， 当时，，解得；当时，与重合，不满足题意；当时，，此时；所以，与的距离为故答案为：.14.在空间直角坐标系中，向量，若四点共面，则________.【答案】8【解析】【分析】利用四点共面，则存在实数使得，解出t.【详解】四点共面，则存在实数使得，代入向量的坐标得故答案为：15.某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为________．【答案】【解析】【详解】分析：先确定总基本事件数，再从中确定满足条件的基本事件数，最后根据古典概型概率公式求概率.详解：从5名学生中抽取2名学生，共有10种方法，其中恰好选中2名女生的方法有3种，因此所求概率为点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序” 区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法（理科）：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.16.已知椭圆与双曲线具有相同的焦点，，且在第一象限交于点，设椭圆和双曲线的离心率分别为，，若，则的最小值为_______.【答案】【解析】【分析】由题意设焦距为，椭圆长轴长为，双曲线实轴为，令在双曲线的右支上，由已知条件结合双曲线和椭圆的定义推出，由此能求出的最小值．【详解】由题意设焦距为，椭圆长轴长为，双曲线实轴为，令在双曲线的右支上，由双曲线的定义，由椭圆定义，可得，，又，，可得，得，即，可得，则 ，当且仅当，上式取得等号，可得的最小值为．故答案为：．【点睛】本题考查椭圆和双曲线的性质，主要是离心率，解题时要熟练掌握双曲线、椭圆的定义，注意均值定理的合理运用．四､解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球．求：（1）样本空间的样本点的总数；（2）事件“摸出2个黑球”包含的样本点的个数；（3）摸出2个黑球的概率．【答案】（1）6（2）3（3）【解析】【分析】先将黑球编号，列举后写出样本点数目，再利用古典概型概率公式求解概率即可.【小问1详解】由于4个球大小相等，摸出每个球的可能性是均等的，且试验的结果是有限个，所以是古典概型．(1)将黑球编号为黑1，黑2，黑3，从装有4个球的口袋内摸出2个球，样本空间Ω＝{(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑1，白)，(黑2，黑3)，(黑2，白)，(黑3，白)}，其中共有6个样本点．【小问2详解】事件“摸出2个黑球”＝{(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑2，黑3)}，共3个样本点．【小问3详解】样本点总数，事件“摸出两个黑球”包含的样本点个数， 故，即摸出2个黑球的概率为.18.在平行六面体中，，.M为的中点，若.（1）用基底表示向量；（2）求向量的长度.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用空间向量的运算求得.（2）先用基底表示向量，然后利用平方的方法求得向量的长度.【小问1详解】由题意可得，故.小问2详解】由条件得， ，故.19.已知等差数列的前项和为.（1）求的通项公式；（2）设数列的前项和为，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）运用等差数列通项公式及等差数列前项和公式计算即可.（2）运用裂项相消法求和即可.【小问1详解】设等差数列的首项为，公差为，则，所以，即.【小问2详解】由（1）知，，所以，所以.20.已知圆的半径为2，圆心在轴的正半轴上，直线与圆相切.（1）求圆的标准方程. （2）求直线：与圆相交的弦长.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据直线与圆相切，应用点线距离公式求圆心坐标，写出圆的标准方程.（2）根据相交弦、弦心距、半径之间的几何关系求弦长即可.【详解】（1）令圆心为且，∴由圆与相切，有，即可得.∴圆的标准方程为.（2）由（1）知：，，∴到直线的距离为，∴直线与圆相交的弦长为.21.如图，平面，，.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；（Ⅲ）若二面角的余弦值为，求线段的长.【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）（Ⅲ）【解析】【分析】首先利用几何体的特征建立空间直角坐标系(Ⅰ)利用直线BF的方向向量和平面ADE的法向量的关系即可证明线面平行； (Ⅱ)分别求得直线CE方向向量和平面BDE的法向量，然后求解线面角的正弦值即可；(Ⅲ)首先确定两个半平面的法向量，然后利用二面角的余弦值计算公式得到关于CF长度的方程，解方程可得CF的长度.【详解】依题意，可以建立以A为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系(如图)，可得.设，则.(Ⅰ)依题意，是平面ADE的法向量，又，可得，又因为直线平面，所以平面.(Ⅱ)依题意，，设为平面BDE的法向量，则，即，不妨令z=1，可得，因此有.所以，直线与平面所成角的正弦值为. (Ⅲ)设为平面BDF的法向量，则，即.不妨令y=1，可得.由题意，有，解得.经检验，符合题意｡所以，线段的长为.【点睛】本题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.22.已知抛物线C；过点．求抛物线C的方程；过点的直线与抛物线C交于M，N两个不同的点均与点A不重合，设直线AM，AN的斜率分别为，，求证：为定值．【答案】（1）．（2）见解析．【解析】【分析】（1）利用待定系数法，可求抛物线的标准方程；（2）设过点P（3，﹣1）的直线MN的方程为，代入y2=x利用韦达定理，结合斜率公式，化简，即可求k1•k2的值．【详解】（1）由题意得，所以抛物线方程为．（2）设，，直线MN的方程为，代入抛物线方程得． 所以，，．所以,所以，是定值．【点睛】求定值问题常见的方法①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．