四川省达州市高级中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学 Word版含解析.docx

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达州市高级中学校2024年高二春季月考试卷数学试卷（考试时间：120分钟总分：150分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.质点M按规律s＝2t2＋3t做直线运动（位移单位：m，时间单位：s），则质点M在t＝2s时的瞬时速度是（）A.2m/sB.6m/sC.4m/sD.11m/s【答案】D【解析】【分析】本题首先分析题意，运用物理知识，进行数学结合.【详解】质点M在t＝2s时位移的平均变化率为＝＝11＋2Δt，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于11m/s.故选：D.2.函数在区间上的平均变化率为（）A.1B.2C.D.0【答案】A【解析】【分析】根据平均变化率的计算即可求解.【详解】在区间上的平均变化率为，故选：A第13页/共13页学科网（北京）股份有限公司 3.下列结论正确的是（　　）A.若在上有极大值，则极大值一定是上的最大值B.若在上有极小值，则极小值一定是上的最小值C.若在上有极大值，则极小值一定是在和处取得D.若在上连续，则在上存在最大值和最小值【答案】D【解析】【分析】根据函数极值与最值的关系可判断.【详解】函数在上的极值不一定是最值，最值也不一定是极值，极值一定不会在端点处取得，而在上一定存在最大值和最小值，所以ABC错误，D正确.故选：D.4.抛物线在点处的切线的斜率为（）A.B.C.D.1【答案】D【解析】【分析】求出导函数，令求出即为切线的斜率.【详解】令，得，得故选：D5.已知函数，其导函数的图象如图所示，则（    ）A.有2个极值点B.在处取得极小值第13页/共13页学科网（北京）股份有限公司 C.有极大值，没有极小值D.在上单调递减【答案】C【解析】【分析】通过导函数图象分析函数的单调性即可得出结论.【详解】由题意及图得，当时，；当时，；所以在上单调递增，在上单调递减，则有一个极大值，没有极小值，故ABD错误，C正确，故选：C.6.若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的最小距离为（）A.1B.C.D.【答案】D【解析】【分析】求出平行于的直线与曲线相切的切点坐标，再利用点到直线的距离公式可得结论．【详解】设，函数的定义域为，求导得，当曲线在点处的切线平行于直线时，，则，而，解得，于是，平行于的直线与曲线相切的切点坐标为，所以点到直线的最小距离即点到直线的距离．故选：D7.设分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时，．且，则不等式的解集是（）A.B.C.D.第13页/共13页学科网（北京）股份有限公司 【答案】D【解析】【分析】构造函数，利用已知可判断出其奇偶性和单调性，进而即可得出不等式的解集．【详解】令，则，因此函数在上是奇函数．①当时，，在时单调递增，故函数在上单调递增．，，．②当时，函数在上是奇函数，可知：在上单调递增，且（3），，的解集为．③当时，，不符合要求不等式的解集是，，．故选：D8.已知函数，则的大小关系为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】画出函数的图象，观察与连线的斜率即得.【详解】作出函数的图象，如图所示.第13页/共13页学科网（北京）股份有限公司 由图可知曲线上各点与坐标原点的连线的斜率随着的增大而减小.由，得，即.故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列求导运算正确的是（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】利用基本初等函数导数公式可判断AC选项；利用导数的四则运算可判断BD选项.【详解】对于A选项，，A错；对于B选项，，B对；对于C选项，，C对；对于D选项，，D错.故选：BC.10.下列函数在定义域上为增函数的是（）A.B.CD.【答案】BC【解析】【分析】结合选项中的函数，求得相应的导数，结合导函数的符号，即可判定函数的单调，得到答案．第13页/共13页学科网（北京）股份有限公司 【详解】对于A中，函数，可得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以A不符合题意,对于B,函数（），可得，当时，，单调递增；故B符合，对于C中，,则，故单调递增；故C符合，对于D，函数，可得，当或时，，单调递增；当时，，单调递减，所以D不符合题意；故选：BC．11.已知函数的导数为，若存在，使得，则称是的一个“巧值点”，则下列函数中有“巧值点”的是（）A.B.C.D.【答案】ABC【解析】【分析】结合“巧值点”的定义，逐个求解是否有解即可【详解】对于A，，令，得或，有“巧值点”；对于B，，令，得，有“巧值点”；对于C，，令，结合，的图象，知方程有解，有“巧值点”；对于D，，令，即，得，无解，无“巧值点”.第13页/共13页学科网（北京）股份有限公司 故选：ABC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若函数的导函数为，且满足，则_________.【答案】1【解析】【分析】令即可求得的值.【详解】令得：.故答案为：113.若函数在其定义域的一个子区间上，不是单调函数，则实数k的取值范围是___________．【答案】【解析】【分析】由题意求导结合函数单调性，列出不等式组即可求解.详解】由题意单调递增，且，所以若函数在其定义域的一个子区间上，不是单调函数，则，解得.故答案为：.14.若函数有个不同的零点,则实数的取值范围为______.【答案】【解析】【分析】由已知,分为、和进行讨论,利用函数的单调区间和即可得到答案.【详解】由已知,当时,函数无解,不符合题意;当时,得,得或,第13页/共13页学科网（北京）股份有限公司 即函数的增区间为,减区间为,又,所以函数有且仅有个零点,与题意不符;当时,得或,得,即函数的增区间为,减区间为,又,要使函数有个不同的零点,则需,即,解得.故答案为:.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数（1）求这个函数的导数；（2）求这个函数在处的切线方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)由，利用导数的性质和公式能求出这个函数的导数；(2)由题意可知切点的横坐标为，故切点的坐标是，由此能求出切线方程.【小问1详解】因为函数，所以小问2详解】由题意可知切点的横坐标为1，所以切线的斜率是，切点纵坐标为，故切点的坐标是，第13页/共13页学科网（北京）股份有限公司 所以切线方程为，即.16.已知是函数的一个极值点.（1）求实数的值；（2）求函数的单调区间.【答案】（1）；（2）的单调增区间是,的减区间是.【解析】【分析】（1）先求导，再由是函数的一个极值点，即建立方程，解之即可；（2）由(1)的确定函数的解析式，再由和求得单调区间.【详解】（1），所以，所以.（2）由（1）知，，，，当时，，当时，，所以的单调增区间是；的减区间是.17.已知函数．（1）若函数在上存在单调增区间，求实数的取值范围．（2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）即有解，参变分离得，最后根据二次函数性质求最值，即得实数的取值范围．（2）即恒成立，参变分离得第13页/共13页学科网（北京）股份有限公司 ，最后根据二次函数性质求最值，即得实数的取值范围．【小问1详解】，由于在上存在单调增区间，故，，∴，由于在单调递增，且当时，∴【小问2详解】，由于在单调递增，故在单调递增，当时，，∴．18.已知函数.（1）讨论函数的单调区间并求出极值；（2）当时，恒成立，求的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）【解析】【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，分、两种情况讨论，分别求出函数的单调区间及极值；（2）参变分离可得在恒成立，令，，利用导数求出函数在区间上的最小值，即可得解.第13页/共13页学科网（北京）股份有限公司 【小问1详解】定义域为，．当时，恒成立，所以在上单调递增，则无极值；当时，令，解得；令，解得，所以的单调递增区间是，单调递减区间是，所以在处取得极小值，即，无极大值．综上，当时，的单调递增区间是，无单调递减区间，无极值；当时，的单调递增区间是，单调递减区间是，，无极大值．【小问2详解】当时，恒成立，即当时，恒成立，所以当时，恒成立，令，，则，所以在上单调递增，所以，所以，即的取值范围为.19.英国数学家泰勒发现了如下公式：其中，为自然对数的底数，.以上公式称为泰勒公式.设，，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题.（1）证明：；第13页/共13页学科网（北京）股份有限公司 （2）设，证明：；【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）首先设，利用导数判断函数的单调性，转化为求函数的最值问题；（2）首先由泰勒公式表示出和，再求得和的解析式，即可证明；小问1详解】设，则，当时，；当时，；所以在上单调递增，在上单调递减，因此，即.【小问2详解】由泰勒公式知，①于是，②由①②得，由①②得，所以，即.第13页/共13页学科网（北京）股份有限公司 第13页/共13页学科网（北京）股份有限公司