临界生三角、数列冲刺练（8）-2024届高三数学一轮复习Word版.docx

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临界生三角、数列冲刺练（8）时间：60分钟班级：___________姓名：___________1．已知公差不为零的等差数列an的前n项和为Sn,a2=3，且a1,a3,a7成等比数列.(1)求an的通项公式；(2)若bn=12Sn−an+1，数列bn的前n项和为Tn，证明：Tn<34.2．设Sn是数列an的前n项和，已知a1=1,an+1=12an+n,n为奇数,an−2n,n为偶数.(1)求a4，并证明：a2n−2是等比数列；(2)求满足S2n>0的所有正整数n.3．已知等差数列an的前n项和为Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1（n∈N∗）．(1)求数列an的通项公式；(2)若bn=2n，令cn=anbn，求数列cn的前n项和Tn.7/7学科网（北京）股份有限公司 4．在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知asinB=bsinπ3+A.(1)求A的大小；(2)若AD为BC上的高，且AD=2，求△ABC面积的最小值.5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=b3sinC+cosC．(1)求B；(2)已知BC=23，D为边AB上的一点，若BD=1，∠ACD=π2，求AC的长．6．如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，平面ABC⊥平AA1C1C，AB⊥AC，AA1=AB=AC=2，∠A1AC=60°.过AA1的平面交线段B1C1于点E（不与端点重合），交线段BC于点F．(1)求证：四边形AA1EF为平行四边形；(2)若F为BC的中点，求直线与A1C1与所成角的AFC1正弦值.参考答案7/7学科网（北京）股份有限公司 1．【详解】（1）设an的公差为dd≠0，因为a1,a3,a7成等比数列，所以a32=a1⋅a7，即a1+2d2=a1a1+6d，因为d≠0，所以a1=2d，又a2=3，所以a1+d=2d+d=3，所以d=1,a1=2，所以an=a1+n−1d=2+n−1=n+1.（2）由（1）得，Sn=n2+n+12=n2+3n2，所以bn=12Sn−an+1=1nn+2=121n−1n+2，所以Tn=121−13+1212−14+1213−15+⋯+121n−1n+2=121−13+12−14+13−15+⋯+1n−1n+2=1232−1n+1−1n+2，又1n+1>0,1n+2>0，所以Tn<34.2．【详解】（1）由a1=1可得a2=12a1+1=32，所以a3=a2−2×2=−52，可得a4=12a3+3=74；由已知得a2n+2=12a2n+1+2n+1=12a2n−4n+2n+1=12a2n+1，所以a2n+2−2=12a2n−2，其中a2=32,a2−2=−12≠0，所以a2n−2是以−12为首项，12为公比的等比数列；（2）由（1）知a2n−2=−12⋅12n−1，所以a2n=−12n+2,a2n−1=6−4n−12n−1，所以a2n−1+a2n=8−4n−3⋅12n，所以S2n=a1+a2+a3+a4+⋯+a2n−1+a2n=8n−41+2+⋯+n−312+122+⋯+12n=−2n2+6n−3+3×12n=−2n−322+32+3×12n，由二次函数及指数函数性质可知当n≥2时，S2n单调递减，7/7学科网（北京）股份有限公司 其中S2=52,S4=74,S6=−218，所以满足S2n>0的所有正整数n为1，2.3．【详解】（1）由题意知：S4=4S2，a2n=2an+1（n∈N∗）即：4a1+44−1d2=42a1+22−1d2a1+2n−1d=2a1+n−1d+1化简得a1=1d=2.所以数列an的通项公式an=1+n−12=2n−1.（2）因为cn=anbn=2n−1⋅2n所以Tn=1×2+3×22+⋯+2n−1×2n①，可得2Tn=1×22+3×23+⋯+2n−1×2n+1②，①-②得：−Tn=1×2+2×22+2×23+⋯+2×2n−2n−1×2n+1.=22+23+24+⋯+2n+1−2n−1×2n+1−2=22×1−2n1−2−2n−1×2n+1−2=3−2n×2n+1−6故Tn=2n−3×2n+1+6.4．【详解】（1）因为asinB=bsinπ3+A，结合正弦定理得sinAsinB=sinBsinπ3+A，因为sinB>0，所以sinA=sinπ3+A，所以sinA=32cosA+12sinA，所以tanA=3.又A∈0,π，所以A=π3.（2）由题意得S△ABC=12BC⋅AD=12bcsinA，故a=34bc.由余弦定理得a2=b2+c2−2bccosA，所以316b2c2=b2+c2−bc≥2bc−bc=bc，所以bc≥163，当且仅当b=c时取等号，所以△ABC面积的最小值为12×163×32=433.5．【详解】（1）∵a=b3sinC+cosC，根据正弦定理得，sinA=sinB3sinC+cosC，即sinBcosC+cosBsinC=3sinBsinC+sinBcosC，所以cosBsinC=3sinBsinC，因为sinC>0，所以cosB=3sinB，所以tanB=33，因为B∈0,π，所以B=π6．（2）因为BC=23，BD=1，B=π6，根据余弦定理得CD2=BC2+BD2−2BC⋅BD⋅cosB=1+12−2×1×23×32=7，∴CD=7．7/7学科网（北京）股份有限公司 ∵∠BDC=π2+∠A，∴sin∠BDC=sinπ2+∠A=cosA．在△BDC中，由正弦定理知，BCsin∠BDC=CDsin∠B，∴23cosA=712，∴cosA=217，A∈0,π2，所以sinA=277∴tanA=sinAcosA=233=CDAC，∴AC=212．6．【详解】（1）在三棱柱ABC−A1B1C1中，因为A1A//B1B,A1A⊄面BB1C1C，B1B⊂面B1BC1C，所以A1A//面BB1C1C.又因为面AA1EF∩面BB1C1C=EF，A1A⊂面A1AEF，所以A1A//EF.因为面ABC//面A1B1C1，面AA1EF∩面ABC=AF，面AA1EF∩面A1B1C1=A1E，所以A1A//EF，所以四边形AA1EF为平行四边形．（2）在面AA1C1C内，过点A作Az⊥AC，因为面ABC⊥面AA1C1C，AB⊂面ABC，面ABC∩面AA1C1C=AC，AB⊥AC，所以AB⊥面AA1C1C，又Az⊂面AA1C1C，所以AB⊥Az，所以AB，Az，AC两两垂直，  以O为坐标原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，Az所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角出标系A−xyz.由题意得A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0)A1(0,1,3),C1(0,3,3),F(1,1,0)，则AF=(1,1,0),AC1=(0,3,3)，          设面AFC1的法向量为m=(x,y,z)，7/7学科网（北京）股份有限公司 则m⋅AF=x+y=0m⋅AC1=3y+3z=0，令y=−1，得m→=(1,−1,3)，又A1C1=(0,2,0)，设直线A1C1与面AFC1所成角为θ，则sinθ=A1C1⋅mA1C1⋅m=221+1+3=55，即直线A1C1与平面AFC1所成角的正弦值为55.7/7学科网（北京）股份有限公司 7/7学科网（北京）股份有限公司