临界生三角、数列冲刺练（4）-2024届高三数学一轮复习Word版.docx

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临界生三角、数列冲刺练（4）时间：____60分钟____班级：___________姓名：___________1．在ΔABC中，若边a,b,c对应的角分别为A,B,C，且c=3asinC−ccosA．(1)求角A的大小；(2)若c=3,b=1，BD=2DC，求AD的长度．2．如图,在平面四边形ABCD中,∠ABC=θ(0<θ<π),AB=BC=CD=1,AC⊥CD.(1)试用θ表示BD的长;(2)求AC2+BD2的最大值.3．在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，6cosBcosC−1=3cosB−C.(1)若B=π6，求cosC；(2)若c=3，点D在BC边上，且AD平分∠BAC,AD=837，求△ABC的面积.2/6学科网（北京）股份有限公司 4．已知数列an满足：a1=12，a2=1，an+2+4an=5an+1（n∈N*）．(1)证明：数列an+1−an是等比数列；(2)求数列an的通项公式．5．已知公差不为0的等差数列an的前n项和为Sn，且S4=20,a1,a2,a4成等比数列．(1)求数列an的通项公式；(2)设bn=4an⋅an+1n∈N+，求证数列bn的前n项和Tn<1．6．已知数列{an}的前n项和为Sn=14n−n2.（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{|an|}的前n项和Tn.2/6学科网（北京）股份有限公司 参考答案1．【详解】（1）解：因为c=3asinC−ccosA，由正弦定理可得sinC=3sinAsinC−sinC·cosA在△ABC，sinC>0，∴3sinA−cosA=1∴2sinA−π6=1，即sinA−π6=12又A∈0,π，∴A−π6∈−π6,5π6∴A−π6=π6，∴A=π3（2）解：∵AD=AB+BD且BD=2DC，∴AD=AB+23BC=13AB+23AC，∴AD2=13AB+23AC2=19×32+49×12+49×3×1×cosπ3=199∴AD=1932．【详解】（1）∵∠ABC=θ（0<θ<π）,AB=BC=CD=1,AC⊥CD,∴∠BCA=π2−θ2，则∠BCD=π2+∠BCA=π2+(π2−θ2)=π−θ2,在△BCD中,BD2=BC2+CD2−2BC⋅CDcos∠BCD=2+2cosθ2=21+2cos2θ4−1=4cos2θ4,∵0<θ<π,∴cosθ4>0,则BD=2cosθ4.（2）在△ABC中,AC2=AB2+BC2−2AB⋅BCcos∠ABC=2−2cosθ,∴AC2+BD2=2−2cosθ+2+2cosθ2=−4cos2θ2+2cosθ2+6=−4cosθ2−142+254,∵0<θ<π,∴0