临界生三角、数列冲刺练（3）-2024届高三数学一轮复习Word版.docx

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临界生三角、数列冲刺练（3）时间：____60分钟____班级：___________姓名：___________1．在①cos2A=cosB+C，②asinC=3ccosA这两个条件中任选一个作为已知条件，然后解答问题．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，______．(1)求角A；(2)若b=2，c=4，求△ABC的BC边上的中线AD的长．2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b=2acosAcosC+2ccos2A.(1)求角A；(2)若a=4，求c−2b的取值范围.3．如图在平面四边形ABCD中，AC=7，AB=3，∠DAC=∠BAC，sin∠BAC=2114．(1)求边BC；(2)若∠CDA=2π3，求四边形ABCD的面积．学科网（北京）股份有限公司 4．在等差数列{an}中，已知a1+a2+a3=18且a4+a5+a6=54．(1)求{an}的通项公式；(2)设bn=4an⋅an+1，求数列{bn}的前n项和Sn．5．已知数列an，且a1=2，an+1=2an−1，n∈N∗.(1)求an的通项公式；(2)设bn=nan−1，若bn的前n项和为Tn，求Tn.6．已知数列an的前n项和为Sn，且满足a1=1,2Snn=an+1−1．(1)求数列an的通项公式；(2)若数列Cn=2n,n为奇数,2n+3,n为偶数,，求数列Cn的前2n项和T2n．学科网（北京）股份有限公司 参考答案1．【详解】（1）解：（1）若选①，即cos2A=cos(B+C)，得2cos2A−1=−cosA，∴2cos2A+cosA−1=0，∴cosA=12或cosA=−1（舍去），∵A∈(0,π)，∴A=π3；若选②：asinC=3ccosA，由正弦定理，得sinAsinC=3sinCcosA，∵A，C∈(0,π)，∴sinC>0，则sinA=3cosA，∴tanA=3，∴A=π3；（2）解：AD是△ABC的BC边上的中线，∴AD=12(AB+AC)，∴AD2=14(AB+AC)2=14(AB2+2AB⋅AC+AC2)=14AB2+2AB⋅AC+AC2=14(c2+2c⋅bcosπ3+b2)，=14(42+2×4×2×cosπ3+22)=7，∴AD=7．2．【详解】（1）解：因为b=2acosAcosC+2ccos2A，由正弦定理得sinB=2sinAcosAcosC+2sinCcos2A，即sinB=2cosAsinAcosC+sinCcosA，即sinB=2cosAsinA+C，因为A+B+C=π，所以A+C=π−B，所以sinB=2cosAsinB.因为B∈0,π，所以sinB≠0，所以cosA=12，因为A∈0,π，所以A=π3.（2）解：由正弦定理得asinA=833，所以c−2b=833sinC−2sinB=833sinπ−π3−B−2sinB=83332cosB−32sinB=8cosBcosπ3−cosBsinπ3，学科网（北京）股份有限公司 所以c−2b=8cosB+π3.因为B∈0,2π3，所以B+π3∈π3,π，所以cosB+π3∈−1,12，所以c−2b∈−8,4.3．【详解】（1）因为sin∠BAC=2114，∠BAC为锐角，所以cos∠BAC=1−21142=5714．因为AC=7，AB=3，在△ABC中，由余弦定理得BC2=AC2+AB2−2AC⋅AB⋅cos∠BAC，即BC2=7+9−2×7×3×5714=1，得BC=1．（2）在△ADC中，由正弦定理得CDsin∠DAC=ACsin∠ADC，即CD2114=732，所以CD=1．在△ADC中，由余弦定理得cos∠ADC=AD2+CD2−AC22AD⋅CD，即−12=AD2+1−72AD，解得AD=2．因为S△ABC=12×7×3×2114=334，S△ACD=12×1×2×sin2π3=32，所以SABCD=S△ABC+S△ACD=334+32=534．4．【详解】（1）解：由题意，设等差数列{an}的公差为d，则3a1+3d=18,3a1+12d=54，解得a1=2,d=4∴an=2+4(n−1)=4n−2,n∈N∗；（2）解：∵bn=4an⋅an+1=44n−24n+2=12n−12n+1=1212n−1−12n+1，∴Sn=121−13+13−15+15−17+⋯+12n−1−12n+1=121−12n+1=n2n+1.5．【详解】（1）因为an+1=2an−1，所以an+1−1=2an−2=2an−1，其中a1−1=2−1=1，故an−1是首项为1，公比为2的等比数列，故an−1=2n−1，所以an=2n−1+1；（2）bn=nan−1=n⋅2n−1，所以Tn=20+2×2+3×22+⋯+n⋅2n−1①，故2Tn=2+2×22+3×23+⋯+n⋅2n②，两式相减得，−Tn=1+2+22+⋯+2n−1−n⋅2n=1−2n1−2−n⋅2n=1−n⋅2n−1，学科网（北京）股份有限公司 故Tn=n−12n+1.6．【详解】（1）因为2Snn=an+1−1，所以2Sn=nan+1−n，①当n≥2时，2Sn−1=(n−1)an−(n−1)，②①-②得：2an=nan+1−(n−1)an−1，即nan+1−(n+1)an=1，所以an+1n+1−ann=1n(n+1)=1n−1n+1，所以ann−a22=12−1n，由a2=3，可得an=2n−1，当n=1时，a1=1，符合上式，所以an=2n−1．（2）由题意得，Cn=2n,n为奇数,2n+3,n为偶数,则T2n=C1+C3+⋯+C2n−1+C2+C4+⋯+C2n=21−4n1−4+n(7+4n+3)2=234n−1+2n2+5n，所以T2n=234n−1+2n2+5n．学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司