湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题（原卷版）.docx

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长郡中学2023年下学期高二期中考试数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页.时量120分钟.满分150分.第Ⅰ卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若两个不同平面的法向量分别为，则（）A.B.C.相交但不垂直D.以上均不正确2.《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把个面包分给个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为（）A.B.C.D.3.若直线与直线垂直，则A.3B.C.-3D.4.直三棱柱中，，、分别是、的中点，，则与所成的角的余弦值为（）A.B.C.D.5.双曲线C与椭圆有相同的焦点，一条渐近线的方程为，则双曲线C的标准方程为（）A.B.C.D.6.已知抛物线E：和圆F：，焦点F作直线l与上述两曲线自左而右依次交于点A，C，D，B，则与乘积为（）A.1B.2C.3D.7.已知数列满足且.若是递增数列，则的取值范围是（） A.B.C.D.8.已知椭圆上一点关于原点的对称点为点，为其右焦点，若，设，且，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A.B.C.D.二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.已知（a，）是直线l的方向向量，是平面的法向量，则下列结论正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则10.已知数列是等比数列，那么下列数列一定是等比数列是（）A.B.C.D.11.已知，直线：过定点A，：过定点B，与交于点M，则下列结论正确的是（）A.B.的最大值是25C.点M轨迹方程是D.的最大值为12.已知抛物线C：的焦点为F，直线l与C交于，两点，其中点A在第一象限，点M是的中点，作垂直于准线，垂足为N，则下列结论正确的是（）A.若以为直径作圆M，则圆M与准线相切B.若直线l经过焦点F，且，则C.若，则直线l的倾斜角为D.若以为直径的圆M经过焦点F，则的最小值为 第Ⅱ卷三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知的圆心为，且与直线相切，则圆C的面积为______.14.如图，在三棱锥O-ABC中，OA，OB，OC两两垂直，，，则直线OB与平面ABC所成角的正弦值为__________．15.已知双曲线C：左、右焦点分别为，，P为C上一点，且，则当C的离心率______时，满足.16.已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是，接下来的两项是，，再接下来的三项是，，，依此类推.（1）这个数列的第100项为______；（2）整数N满足条件：且该数列的前N项和为2的整数幂，则最小整数______.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知数列各项均正数，且，.（1）证明：为等差数列，并求出通项公式；（2）设，求.18.四棱锥中，，平面，，E为AB的中点，且.（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值. 19.已知圆，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切圆M于A，B两点.（1）求四边形QAMB面积的最小值；（2）若，求Q点的坐标.20.设抛物线的准线为l，A、B为抛物线上两动点，于，定点使有最小值．（1）求抛物线的方程；（2）当（且）时，是否存在一定点T满足为定值？若存在，求出T的坐标和该定值；若不存在，请说明理由．21.已知数列，，，数列满足，.（1）求证：数列为等差数列，并求出数列的通项公式；（2）求的表达式；（3）求证：.22.已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，焦距为2，上、下顶点分别为、，A为椭圆上的点，且满足. （1）求椭圆C的标准方程；