湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高二上学期寒假作业检测数学试卷（原卷版）.docx

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长郡中学2023年高二寒假作业检测试卷数学试题本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共8页.时量120分钟.满分150分.第I卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知数列为等比数列，则“，是方程的两实根”是”，或”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.某中学高三（1）班有50名学生，在一次高三模拟考试中，经统计得：数学成绩，则估计该班数学得分大于120分的学生人数为（）（参考数据：）A16B.10C.8D.23.若，则的值为（）A.B.C.D.4.按从小到大顺序排列的9个数据：10，16，25，33，39，43，m，65，70，若这组数据的第一四分位数与第三四分位数的和是73，则m等于（）A.40B.48C.50D.575.若函数（）在有最大值无最小值，则的取值范围是（）AB.C.D.6.椭圆：的上顶点为，点，均在上，且关于轴对称，若直线， 的斜率之积为，则的离心率为（）A.B.C.D.7.在平面内，定点A，B，C，D满足==,===–2，动点P，M满足=1，=，则的最大值是AB.C.D.8.甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球（球除颜色外，大小质地均相同）.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐中取出的球是红球的事件.下列结论正确的个数是（）①事件与相互独立②③④A4B.3C.2D.1二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）9.关于，的方程(其中)表示的曲线可能是（）A.焦点在轴上的双曲线B.圆心为坐标原点的圆C.焦点在轴上的双曲线D.长轴长为的椭圆10.早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中，算术中项，几何中项的定义与今天大致相同，而今我们称为正数a，b的算术平均数，为正数a，b的几何平均数，并把这两者结合的不等式叫做基本不等式，下列与基本不等式有关的命题中正确的是（）A若，，，则 B.若，，，则的最小值为1C.若，，，则的最小值为D.，，，则的最小值为211.（多选）分别为内角的对边，已知，且，则（）A.B.C.的周长为D.的面积为12.如图，正方体的棱长为，、是线段上的两个动点，且，则下列结论中正确的是（）A.B.平面C.的面积与的面积相等D.三棱锥的体积为定值第II卷三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.数列中，若，，则___________.14.在的展开式中，x的系数是___________（用数字作答）.15.已知函数存在减区间，则实数a的取值范围为______. 16.给图中A，B，C，D，E，F六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色．若有5种颜色可供选择，则共有_______种不同的染色方案．四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知直线l：．（1）若直线l在x轴上截距和在y轴上截距相等，求a的值；（2）若直线l与圆相切，求a的值．18.已知数列满足，且.（1）求；（2）证明数列是等差数列，并求的通项公式．19.某高校的大一学生在军训结束前，需要进行各项过关测试，其中射击过关测试规定：每位测试的大学生最多有两次射击机会，第一次射击击中靶标，立即停止射击，射击测试过关，得5分；第一次未击中靶标，继续进行第二次射击，若击中靶标，立即停止射击，射击测试过关，得4分；若未击中靶标，射击测试未能过关，得2分.现有一个班组的12位大学生进行射击过关测试，假设每位大学生两次射击击中靶标的概率分别为，0.5，每位大学生射击测试过关的概率为.（1）设该班组中恰有9人通过射击过关测试的概率为，求取最大值时和的值；（2）在（1）的结果下，求该班组通过射击过关测试所得总分的平均数.20.如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是正三角形，且平面平面，，为棱的中点，四棱锥的体积为． （1）若为棱的中点，求证：平面；（2）在棱上是否存在点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为？若存在，指出点的位置并给以证明；若不存在，请说明理由.21.已知双曲线的左，右焦点分别为，．且该双曲线过点．（1）求C的方程；（2）如图．过双曲线左支内一点作两条互相垂直的直线分别与双曲线相交于点A，B和点C，D．当直线AB，CD均不平行于坐标轴时，直线AC，BD分别与直线相交于P．Q两点，证明：P，Q两点关于x轴对称．22.已知函数.（1）当时，求的最大值；（2）设点和是曲线上不同的两点，且，若恒成立，求实数k的取值范围.