湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高三上学期月考（四）数学（原卷版）.docx

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大联考长郡中学2024届高三月考试卷（四）数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.设集合，则（）AB.C.D.2.已知是虚数单位，若，则实数（）A.2B.0C.D.3.设随机变量，且，则（）A.0.75B.0.5C.0.3D.0.254.已知，则下列结论正确的是（）A.B.C.D.5.已知圆锥的高为3，若该圆锥的内切球的半径为1，则该圆锥的表面积为（）A.B.C.D.6.已知角，且满足，则=（）A.B.C.D.7.在等腰中，的外接圆圆心为，点在优弧上运动，则的最小值为（） A.4B.2C.D.8.已知椭圆：的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点，若的中点坐标为，则椭圆的方程为（）A.B.C.D.二､多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9.党的二十大报告提出，要加快发展数字经济，促进数字经济与实体经济的深度融合，数字化构建社区服务新模式成为一种时尚．某社区为优化数字化社区服务，问卷调查调研数字化社区服务的满意度，满意度采用计分制（满分100分），统计满意度绘制成如下频率分布直方图，图中．则下列结论正确的是（）A.B.满意度计分的众数为80分C.满意度计分的分位数是85分D.满意度计分的平均分是76.510.已知函数的最大值为，则下列结论正确的是（）A.函数最小正周期为B.C.函数的图象关于直线对称D.函数在区间内有两个不同实根11.已知数列满足，数列满足，记数列的前 项和为，则下列结论正确的是（）A.数列是等差数列B.C.D.12.如图，在多面体中，底面是边长为的正方形，平面，动点在线段上，则下列说法正确的是（）A.B.存点，使得平面C.当动点与点重合时，直线与平面所成角的余弦值为D.三棱锥的外接球被平面所截取的截面面积是三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13.已知函数，则值为__________．14.2023年10月国庆节旅游黄金周期间，自驾游爱好者甲､乙､丁3家组团自驾去杭州旅游，3家人分别乘坐3辆车，沪昆高速杭州入口有共3个不同的窗口，则每个窗口恰好都有一位该团的自驾车在等候的概率为__________．15.已知双曲线的左、右焦点分别为，过作一条直线与双曲线右支交于两点，坐标原点为，若，则该双曲线的离心率为___________.16.已知关于的不等式恰有3个不同的正整数解，则实数的取值范围是__________．四､解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．）17.在中，分别为内角的对边，且． （1）求角A的大小；（2）设角A的内角平分线交于点，若的面积为，求的值．18.已知等差数列的前项和为，且满足，数列满足．（1）证明：数列是等比数列，并求的通项公式；（2）已知数列满足求数列的前项和．19.如图，四棱柱中，底面为正方形，与交于点，平面平面与底面所成的角为．（1）求证：平面；（2）求平面与平面的夹角的余弦值．20.已知圆，动点在轴的右侧，到轴的距离比它到的圆心的距离小1．（1）求动点的轨迹的方程；（2）过圆心作直线与轨迹和圆交于四个点，自上而下依次为A，M，N，B，若，求及直线的方程．21.在上海举办的第五届中国国际进口博览会中，一款无导线心脏起搏器引起广大参会者的关注，成为了进博会的“明星展品”．体积仅有维生素胶囊大小，体积比传统心脏起搏器减小93%，重量仅约2克，拥有强大的电池续航能力，配合兼容1.5T/3.0T全身核磁共振扫描检查等创新功能．在起搏器研发后期，某企业快速启动无线充电器主控芯片生产，试产期每天都需同步进行产品检测，检测包括智能检测和人工检测，选择哪种检测方式的规则如下：第一天选择智能检测，随后每天由计算机随机等可能生成数字“0”和“1”，连续生成4次，把4次的数字相加，若和小于3，则该天的检测方式和前一天相同，否则选择另一种检测方式． （1）求该企业前三天产品检测选择智能检测的天数X的分布列；（2）当地政府为了检查该企业是否具有一定的智能化管理水平，采用如下方案：设表示事件“第n天该企业产品检测选择的是智能检测”的概率，若恒成立，认为该企业具有一定的智能化管理水平，将给予该企业一定的奖励资金，否则将没有该项奖励资金．请问该企业能拿到奖励资金吗？请说明理由．22.已知函数，其中．（1）讨论函数的单调性；