重庆市南开中学2023-2024学年高一下学期阶段测试数学试题 Word版含解析.docx

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重庆南开中学高2026级高一下学期测试数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.如图，在平行四边形中，，E是边上一点，且，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由题意结合平面向量的线性运算法则、向量的数乘即可得解.【详解】由题意，所以.故选：D.【点睛】本题考查了平面向量线性运算法则及平面向量数乘的应用，考查了平面向量基本定理的应用，属于基础题.2.已知向量，，，则（）A.A，B，C三点共线B.A，B，D三点共线C.A，C，D三点共线D.B，C，D三点共线【答案】B【解析】【分析】根据向量共线定理进行判断即可.【详解】∵，又∵和有公共点B，∴A，B，D三点共线.故选：B．【点睛】本题考查了用向量共线定理证明三点共线问题，属于常考题. 3.在等边中，点是边的中点，且，则为（）AB.16C.D.8【答案】C【解析】【分析】利用向量数量积定义即可求得的值.【详解】等边中，点是边的中点，且，则,，，则故选：C4.设D，E，F分别为的三边BC，CA，AB的中点，则＋等于（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用向量的线性运算和中点的向量表示进行计算，即得结果.【详解】如图，＋＝＋＋＋＝＋＝＋＝.故选：C.5.已知，则（    ）A.B.C.D. 【答案】B【解析】【分析】利用诱导公式及二倍角余弦公式求解可得答案.【详解】令，故，，故.故选：B6.在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，AD平分∠BAC且与BC相交于点D，则向量在上的投影向量为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】首先画出图形，根据投影的几何意义，计算结果.【详解】由余弦定理可知，，，AD平分∠BAC且与BC相交于点D，是等腰三角形，是中点，，由图可知向量在上的投影向量为 ，.故选：B【点睛】本题考查向量的投影，重点考查数形结合分析问题，属于基础题型.7.在平面四边形中，，分别为，的中点.若，，且，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由向量的数量积以及模长运算公式即可得解.【详解】连接，，如图，可知.由，即，可得.从而，，所以.故选：B8.已知函数，其图象与直线相邻两个交点的距离为，若，恒成立，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】 【分析】由5是函数的最大值，结合已知可得周期，从而得值，再由不等式恒成立得的范围．【详解】由题意的最大值是5，所以由的图象与直线相邻两个交点的距离为知，．即，即，时，，因为，所以，，所以，解得．故选：A．【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的性质，解题时能确定具体数值的先确定具体值，如，而的求法有两种：（1）由的范围，求出的范围，并根据的范围得出和的范围，然后根据余弦函数性质得出不等关系．（2）先利用余弦函数性质，求出时，的范围，再由已知区间是这个范围的子集，得出结论．二、多项选择题，本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.9.下列命题为真命题的是（）A.B.零向量与任意向量共线C.互为相反向量的两个向量的模相等D.若向量，满足，，则【答案】BCD【解析】 【分析】由向量减法法则判断选项A；由零向量的性质判断选项B；由相反向量的定义判断选项C；由向量三角不等式判断选项D.【详解】对A，，A选项错误；对B，零向量与任意向量共线，B选项正确；对C，互为相反向量的两个向量的模相等，C选项正确；对D，若向量，满足，，则，即，D选项正确．故选：BCD10.已知△ABC的重心为O，边AB，BC，CA的中点分别为D，E，F，则（）A.B.C.若，则D.若△ABC为正三角形，则【答案】ABC【解析】【分析】利用平面向量的线性运算及其几何意义，数量积的定义及运算法则逐项分析即得.【详解】对于A，因为为中的中点，所以，故A正确；对于B，因为为的重心，分别为边的中点，所以，所以，故B正确；对于C，因为，所以，所以C正确；对于D，因为为正三角形，所以，所以，所以D不正确.故选：ABC.11.已知函数的部分图象如图所示，则（） A.的单调递增区间是B.的单调递增区间是C.在上有3个零点D.将函数图象向左平移3个单位长度得到的图象所对应的函数为奇函数【答案】AC【解析】【分析】利用图象求出函数解析式，再求出单调增区间，上零点，图象的对称轴，逐一对选项判断即可．【详解】由图象得，周期，得，所以，．令，解得，故单调递增区间为．A正确，B错误；令，解得，令得，解得，可知C选项正确；函数图象关于直线对称，向左平移3个单位长度，图象关于轴对称，得到的函数为偶函数，故D错误．故选：AC．12.如图，边长为2的正六边形，点是内部（包括边界）的动点，，，.（） A.B.存在点，使C.若，则点的轨迹长度为2D.的最小值为【答案】AD【解析】【分析】根据正六边形的性质，结合向量的线性运算即可求解A，根据共线即可得矛盾求解B，根据共线即可求解C，根据数量积的运算律，结合图形关系即可求解D.【详解】设为正六边形的中心，根据正六边形的性质可得且四边形均为菱形，，故A正确，假设存在存在点，使，则,其中点为以为邻边作平行四边形的顶点，所以在直线上，这与点是内部（包括边界）的动点矛盾，故B错误，当时，，取,则,所以点的轨迹为线段,其中分别为过点作与的交点，由于为中点，所以,故点的轨迹长度为1，C错误，由于,,过作于，则,所以此时，由于分别为上的分量，且点点是内部（包括边界）的动点，所以 当位于时，此时同时最小，故的最小值为故选：AD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量，满足，，且，则实数的值是________．【答案】【解析】【分析】利用向量的线性运算，以及向量的模，转化求解即可.【详解】由，得，因为，，所以，即.故答案为：14.计算：.【答案】【解析】【分析】因为，所以对进行和差公式展开，即可求解【详解】.15.已知函数，将的图象向左平移个单位长度，所得函数的图象关于原点对称，且在上单调递减，则__________．【答案】3【解析】 【分析】根据余弦函数的性质可得，结合单调性列不等式即可求解.【详解】由题意知图象关于原点对称，因此，解出，由于在上单调递减，，因此，解出，由于，所以取，解得，又由于，且，则．故答案为：316.已知为的外心，，当最大时，边上的中线长为_________．【答案】【解析】【分析】作出图形，利用平面向量的运算得到，再利用余弦定理与基本不等式求得最大时的值，从而得解.【详解】取中点D，连接，则，则，所以，即，又，所以，，则，当且仅当，即时取等号，此时角最大，同时，所以， 所以边上中线长为.故答案为：.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用面向量的运算转化，得到，从而得解.四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在平行四边形中，．（1）如图1，如果分别是的中点，试用分别表示.（2）如图2，如果是与的交点，是的中点，试用表示.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根据向量的线性运算结合图形直接表示即可；（2）根据向量的线性运算结合图形直接表示即可.【小问1详解】因为分别是的中点，所以，.【小问2详解】因为是与的交点，是的中点，所以，.18.已知，，.（1）求与的夹角和的值； （2）设，，若与共线，求实数m的值.【答案】（1）与的夹角为，；（2）.【解析】【分析】（1）根据求出，根据数量积关系求出夹角，求出模长；（2）根据共线定理必存在使得：，求解参数.【详解】（1），，，，，所以，所以与的夹角为，；（2）由（1）可得：与不共线，，，若与共线，则必存在使得：，所以，得.【点睛】此题考查向量的数量积运算，根据数量积关系求向量夹角和模长，利用平面向量基本定理结合向量共线求参数的值.19.如图,在中，已知点分别在边上，且，.（1）用向量、表示；（2）设,,,求线段的长. 【答案】（1）;（2）.【解析】【详解】试题分析:（1）现将转换为，然后利用题目给定的比例，将其转化为以为起点的向量的形式.（2）由（1）将向量两边平方，利用向量的数量积的概念，可求得.试题解析：（1）由题意可得：（2）由可得：.故.20.已知（1）化简；（2）若，，且，，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）运用诱导公式进行求解即可；（2）根据同角的三角函数关系式，结合两角差的余弦公式进行求解即可.【小问1详解】 ；【小问2详解】，因为，所以所以，，因为，，所以，因，所以，于是所以.21.已知函数．（1）求函数的单调递增区间；（2）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若关于x的方程在上恰有一解，求实数m的取值范围．【答案】21.22.【解析】【分析】（1）先根据二倍角公式以及辅助角公式化简，利用整体代换法即可解出的单调递增区间； （2）先结合条件将问题转化为“在上恰有一解”，然后分析的单调性以及函数值，从而列出关于的不等式，由此求解出结果.【小问1详解】函数，令，，函数的单调递增区间为.【小问2详解】将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若关于的方程在上恰有一解，即在上恰有一解，即在上恰有一解，当时，，函数，当时，单调递增，当时，单调递减，而，，， 或，解得或，即实数的取值范围为．22.如图所示，在等腰直角中，为线段的中点，点分别在线段上运动，且，设.（1）设，求的取值范围及；（2）求面积的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据条件得，即可得，在中，利用即可求出结果；（2）根据条件得到，再利用基本不等式即可求出结果.【小问1详解】因为为等腰直角三角形，为线段的中点，所以.因为点在线段上运动，所以，因为，所以， 所以.【小问2详解】因为，所以，所以，所以，当且仅当时，等号成立，所以面积的最小值为.