重庆市渝高中学2023-2024学年高二下学期阶段测试数学试题 Word版含解析.docx

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重庆市渝高中学校2023-2024学年高二下学期阶段测试数学试题（时间120分钟，共计150分）第Ⅰ卷（选择题）一、单选题（每小题5分，共计40分）1.已知函数，则（）．A.B.0C.1D.2【答案】D【解析】【分析】根据导数的定义及导数的运算求解即可.【详解】由题意，，故.故选：D2.已知某物体的运动方程是（的单位为），该物体在时的瞬时加速度是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由题意依次求导代入即可得解.【详解】由题意，，所以.故选：C.3.若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为（）A.1B.C.D.【答案】D【解析】【分析】求出平行于的直线与曲线 相切的切点坐标，再利用点到直线的距离公式可得结论．【详解】设，函数的定义域为，求导得，当曲线在点处的切线平行于直线时，，则，而，解得，于是，平行于的直线与曲线相切的切点坐标为，所以点到直线的最小距离即点到直线的距离．故选：D4.若函数在点处的切线的斜率为1，则的最大值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用导数的几何意义可得出，利用基本不等式可求得的最大值.【详解】由已知，所以，，得，所以，当且仅当时等号成立．故选:C．5.已知函数的导函数为，且，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】对等式两边求导，求导的时候注意是个常数，求导之后令即可得出答案. 【详解】因为，所以，令，则，．故选：C6.已知曲线与曲线在交点处有相同的切线，则（）A.1B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用导数求出切线的斜率，从而可求解.【详解】由题知曲线和曲线在交点处有相同切线，即斜率相等，所以对于曲线，求导得，所以在点处的切线斜率为，对于曲线，求导得，所以，得，故B正确.故选：B.7.某同学利用电脑软件将函数，的图象画在同一直角坐标系中，得到了如图所示的“心形线”．观察图形，当时，的导函数的图象为（）A.B. C.D.【答案】A【解析】【分析】求出函数的定义域及函数值符号，分析函数在上的单调性及切线斜率的变化，即可得出合适的选项.【详解】因为，，所以函数的图象为“心形线”中轴及下方的部分．由，得，可得，解得.所以，函数的定义域为，且，由题图可知函数在上单调递增，即当时，，故排除BC．又函数在时的图象的切线斜率先减小后增大，故函数的值先减小后增大，故只有A选项符合题意，故选：A．8.已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则下列等式一定正确的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据函数的对称性以及复合函数求导运算，利用举反例的形式，逐一判断，可得答案. 【详解】由函数为偶函数，可得，则，所以函数关于成轴对称；由函数为偶函数，可得，所以函数关于成轴对称；对于A，设，，显然符合题意，但，故A错误；对于B，因为为偶函数，故，故，故（为常数），令，则，故，故的图象关于成中心对称，由，且为函数图象的对称轴，则，由，则函数图象的对称轴为直线，由，则，所以，故B正确；对于C，设，令，解得，则的对称轴为；，令，解得，则的对称中心为；所以此时函数符合题意，，故C错误；对于D，由选项C，符合题意，则， ，故D错误.故选：B二、多选题（每小题6分，共计18分）9.下列选项正确的是（）A.，则B.，则C.，则D.，则【答案】BCD【解析】【分析】利用基本初等函数求导法则和复合函数求导法则得到答案.【详解】A选项，，A错误；B选项，，则，B正确；C选项，，C正确；D选项，令，D正确．故选：BCD．10.一做直线运动的物体，其位移s（单位：m）与时间t（单位：s）的关系是．则下列正确的是（）A.此物体的初速度是B.此物体在时的瞬时速度大小为，方向与初速度相反C.到时平均速度D.时的瞬时速度为【答案】ABC【解析】【分析】ABD选项，对求导后，代入相应值，判断正误；C选项，根据平均速度计算公式进行求解. 【详解】A选项，，故当时，，即此物体的初速度是，A正确；B选项，当时，，此物体在时的瞬时速度大小为，方向与初速度相反，B正确；C选项，，到时平均速度，故到时平均速度，C正确；D选项，时，，故时的瞬时速度为，D错误.故选：ABC11.若直线是曲线与曲线的公切线，则（）A.B.C.D.【答案】BD【解析】【分析】借助导数的几何意义计算即可得.【详解】令，则，令，有，则，即有，即，故，令，则，令，有，则，即有，即，故有，即.故选：BD.第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题（每小题5分，共计15分）12.已知是函数的导函数，且，则__________．【答案】【解析】【分析】根据题意结合导数的定义运算求解. 【详解】由题意可得：．故答案为：.13.若直线是曲线的一条切线，则实数______．【答案】【解析】【分析】由导数的几何意义得出答案.【详解】由题可知，设的切点为，则切线斜率为，可得，解得．故答案为:.14.已知函数，，请写出函数和的图象的一条公共切线的方程为______.【答案】（或）【解析】【分析】设切点坐标分别为，，由切线斜率可得，结合公切线方程解得或，进而可得公切线方程.【详解】因，，则，，设函数上的切点坐标为，切线斜率为，函数上的切点坐标为，切线斜率为，由切线斜率可得，即，可得公切线方程为，代入点可得， 代入可得，整理得，解得或，所以切线方程为或.故答案为：（或）.四、解䈶题（5个小题，共计77分）15已知曲线.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求曲线过点的切线方程.【答案】（1）（2）和【解析】【分析】（1）先利用导数求出在处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，利用点斜式即可得到切线方程；（2）设过点的切线与曲线相切于点，然后根据曲线在点处切线的切线方程，求出切点坐标，从而可求出结果．【小问1详解】由题意得，则在点处的切线的斜率，所以曲线在点处的切线方程为，即.【小问2详解】设曲线与过点的切线相切于点，设切线的斜率为，则由点斜式得直线方程为，又因为切点为，则，解得或，则曲线过点处的切线方程为和.16.如图，在四棱锥中，平面，，， ，，分别为棱，的中点（1）求证：平面平面；（2）求平面与平面所成二面角的正弦值；【答案】（1）证明见解析（2）．【解析】【分析】（1）借助线面垂直的性质可得线线垂直，由线面垂直判定定理可得线面垂直即可得面面垂直；（2）建立空间直角坐标系后借助向量计算即可得.【小问1详解】因为平面，平面，所以，又，且，且、平面，故平面，又因为平面，所以平面平面；【小问2详解】由（1）易知，，，，以D为原点，以所在直线分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系，则有，，则，， 设平面的法向量，则，即，令，得，，故，由平面，可得平面的一个法向量为，设平面与平面所成二面角为，则，则，所以平面与平面所成二面角的正弦值为．17.已知是数列的前项和，且满足．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用定义判定等差数列，再求通项公式即可.（2）利用错位相减法求解即可.【小问1详解】由题意，即，知为等差数列，设公差为，则，由，得，得．【小问2详解】由（1）得，， ，相减得，18.在平面直角坐标系中，已知椭圆（过点，且离心率．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l的斜率为，直线l与椭圆C交于A、B两点，求的面积的最大值．【答案】（1）（2）2【解析】【分析】（1）利用，可得，再将点坐标代入方程，解方程组求得从而可得椭圆的方程；（2）设直线l的方程为，代入椭圆方程中整理得，借助根的判别式可得，结合根与系数的关系可得，接下来利用点到直线的距离公式可求出点到直线的距离，再利用三角形面积公式和基本不等式进行求解，即可解决问题.【小问1详解】因为，所以，①因为椭圆C过点，所以，②由①②解得，所以椭圆的方程为．【小问2详解】 设直线l的方程为，联立，得，所以，又直线l与椭圆相交，所以，解得，则，点P到直线l的距离，所以，当且仅当，即时，的面积取得最大值为2．19.阅读知识卡片，结合所学知识完成以下问题：知识卡片1：一般地，如果函数在区间上连续，用分点将区间等分成个小区间，在每个小区间上任取一点，作和式（其中为小区间长度），当时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数在区间上的定积分，记作即.这里，与分别叫做积分下限与积分上限，区间叫做积分区间，函数叫做被积函数，叫做积分变量，叫做被积式.从几何上看，如果在区间上函数连续且恒有，那么定积分表示由直线和曲线所围成的曲边梯形的面积.知识卡片2：一般地；如果是区间上的连续函数，并且，那么 .这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿-莱布尼茨公式.（1）用定积分表示曲线及所围成的图形的面积，并确定取何值时，使所围图形的面积最小；（2）一列火车在平直的铁轨上行驶，由于遇到紧急情况，火车以速度（单位：）紧急刹车至停止.求：①求火车在刹车4秒时速度的瞬时变化率（即4秒时的瞬时加速度）；②紧急刹车后至停止火车运行的路程.【答案】19.，20.①；②【解析】【分析】（1）先利用定积分的定义表示出所围图形的面积，然后根据牛顿莱布尼茨公式进行积分运算，最后利用配方法即可得解（2）①求导得瞬时速度；②令，解得的值即为从开始紧急刹车至火车完全停止所经过的时间，紧急刹车后火车运行的路程是从0到10对函数的定积分．【小问1详解】，当时，由曲线围成的图形面积最小．【小问2详解】①，则，故火车在刹车4秒时速度的瞬时变化率为；②当火车速度时火车完全停止，即，，解得或（舍去）；即从开始紧急刹车至火车完全停止所经过的时间为． 根据定积分的物理意义，紧急刹车后火车运行的路程就是从0到10对应函数的定积分，，即紧急刹车后火车运行的路程为．