湖南省长沙市雅礼中学2023-2024学年高二上学期期中数学（原卷版）.docx

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雅礼中学2023年高二下学期期中检测试题数学试卷时量：120分钟分值：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A.B.C.D.2.“”是“直线与直线平行”的（）A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件3.空气质量指数是评估空气质量状况的一组数字，空气质量指数划分为、、、、和六档，分别对应“优”、“良”、“轻度污染”、“中度污染”、“重度污染”和“严重污染”六个等级．如图是某市2月1日至14日连续14天的空气质量指数趋势图，则下面说法中正确的是（）．A.这14天中有5天空气质量为“中度污染”B.从2日到5日空气质量越来越好C.这14天中空气质量指数的中位数是214D.连续三天中空气质量指数方差最小是5日到7日4.在平面直角坐标系中，直线与两坐标轴分别交于点、，圆经过、，且圆心在轴上，则圆的方程为（）A.B.C.D. 5.已知双曲线C：-=1的焦距为10，点P（2,1）在C的渐近线上，则C的方程为A.-=1B.-=1C.-=1D.-=16.抛物线焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且，的面积为，则抛物线方程为A.B.C.D.7.已知定义在R上的函数满足，且当时，．给出以下四个结论：①；②可能是偶函数；③在上一定存在最大值；④的解集为．共中正确结论的个数为（）A.1B.2C.3D.48.焦点在x轴椭圆中截得最大矩形的面积范围是，则椭圆离心率的范围是（）A.B.C.D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9.已知圆和圆相交于两点，下列说法正确是（）．A.圆的圆心为，半径为1B.直线的方程由为C.圆心到的距离为D.线段的长为10.已知函数的部分图象如图所示，则（） A.B.C.在上单调递增D.的图象关于直线对称11.如图，在正四棱柱中，，点P为线段上一动点，则下列说法正确的是（）A.直线平面B.三棱锥的体积为C.三棱锥外接球的表面积为D.直线与平面所成角的正弦值的最大值为12.曲线C是平面内与两个定点，的距离的积等于的点P的轨迹，则下列结论正确的是（）A.曲线C关于坐标轴对称B.点P到原点距离的最大值为 C.周长的最大值为D.点P到y轴距离的最大值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知直线l经过两点，，若直线l的方向向量的坐标为．则__________．14.已知椭圆上的点M到该椭圆一个焦点F的距离为2，N是MF的中点，O为坐标原点，那么线段ON的长是________.15.已知函数，则函数零点的个数是__________．16.已知N为抛物线上的任意一点，M为圆上的一点，，则的最小值为__________．四、解答题：本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在中，角，，的对边分别为，，，向量，，且．（1）求的值；（2）若，，求的面积．18.2023年，某省实行新高考，数学设有4个多选题，在给出A，B，C，D四个选项中，有两项或三项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．现正在进行数学学科期中考试．（1）根据以往经验，小李同学做对第一个多选的概率为，做对第二个多选题的概率为，对第三个多选题的概率为．求小李同学前三个多选题错一个的概率．（2）若最后一道数学多选题有三个正确的选项，而小智和小博同学完全不会做，只能对这道题的选项进行随机选取，每个选项是否被选到是等可能的，若小智打算从中随机选择一个选项，小博打算从中随机选择两个选项．（i）求小博得2分的概率；（ii）求小博得分比小智得分高的概率． 19.如图，在梯形中，，，，将沿边翻折，使点翻折到点，且．（1）证明：平面；（2）若为线段的中点，求平面与平面夹角的余弦值．20.已知抛物线（）的焦点为F，的顶点都在抛物线上，满足．（1）求的值；（2）设直线AB、直线BC、直线AC的斜率分别为，，，若实数满足：上，求的值．21.已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线上．（1）求的方程；（2）过作两条相互垂直的直线和，与的右支分别交，两点和，两点，求四边形面积的最小值．22.如图，设P是上的动点，点D是点P在x轴上的投影，Q点满足（）．（1）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹C的方程；（2）若，设点，A关于原点的对称点为B，直线l过点且与曲线C交于点M和点 N，设直线AM与直线BN交于点T，设直线AM的斜率为，直线BN的斜率为．（i）求证：定值；