湖南省长沙市雅礼中学2023-2024学年高二上学期入学检测数学（原卷版）.docx

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雅礼中学2023年高二下学期入学检测试题数学试卷时量：120分钟满分：150分一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数纯虚数，则实数（）A.B.C.0D.12.已知集合，，则（）A.B.C.D.3.已知，则且是且成立的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件4.有一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是（）.A.至多有1次中靶B.2次都中靶C.2次都不中靶D.只有1次中靶5.已知样本数据，，…，的平均数和方差分别为3和56，若，则，，…，的平均数和方差分别是（）A.12，115B.12，224C.9，115D.9，2246.某中学举行了一次“网络信息安全”知识竞赛，将参赛的100名学生成绩分为6组，绘制了如图所示的频率分布直方图，则成绩在区间内的学生有（）A.15名B.20名C.25名D.40名7.已知函数的定义域为R，且，则（） A.B.C.0D.18.如图，正方体中，点，，分别是，的中点，过点，，的截面将正方体分割成两个部分，记这两个部分的体积分别为，则（）A.B.C.D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知，则a，b满足（）A.B.C.D.10.在中，内角所对的边分别为，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（）A.B.C.D.11.下列四个命题中，假命题有（）A.对立事件一定是互斥事件B.若两个事件，则C.若事件彼此互斥，则D.若事件满足，则是对立事件12.如图，正方体的棱长为，，，分别为，， 的中点，则（）A.直线与直线垂直B.直线与平面平行C.平面截正方体所得的截面面积为D.点与点B到平面的距离相等三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.2023年是全面贯彻党的二十大精神的开局之年，某中学为了解教师学习“党的二十大精神”的情况，采用比例分配分层随机抽样的方法从高一、高二、高三的教师中抽取一个容量为30的样本，已知高一年级有教师80人，高二年级有教师72人，高三年级有教师88人，则高一年级应抽取______人.14.在平行六面体中，°，则=___________．15.已知，若存在实数，使函数有两个零点，则的取值范围是________．16.如图，正四棱锥P-ABCD的底面边长和高均为2，M是侧棱PC的中点.若过AM作该正四棱锥的截面，分别交棱PB､PD于点E､F（可与端点重合），则四棱锥P-AEMF的体积的取值范围是___________.四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知函数的部分图像如图所示.（1）求的解析式及对称中心；（2）先将的图像纵坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位后得到的图像，求函数在上的单调减区间和最值.18.如图，在正方体中，分别是棱的中点.（1）求证：；（2）若点分别上，且.求证：；（3）棱上是否存在点，使平面平面？若存在，确定点P的位置，若不存在，说明理由.19.某足球俱乐部举办新一届足球赛,按比赛规则,进入淘汰赛的两支球队如果在120分钟内未分出胜负,则需进行点球大战.点球大战规则如下:第一阶段,双方各派5名球员轮流罚球,双方各罚一球为一轮,球员每罚进一球则为本方获得1分,未罚进不得分,当分差拉大到即使落后一方剩下的球员全部罚进也不能追上的时候,比赛即宣告结束,剩下的球员无需出场罚球.若5名球员全部罚球后双方得分一样,则进入第二阶段,双方每轮各派一名球员罚球,直到出现某一轮一方罚进而另一方未罚进的局面,则罚进的一方获胜.设甲、乙两支球队进入点球大战,由甲队球员先罚球,甲队每位球员罚进点球的概率均为,乙队每位球员罚进点球的概率均为.假设每轮罚球中,两队进球与否互不影响,各轮结果也互不影响. （1）求每一轮罚球中,甲、乙两队打成平局的概率;（2）若在点球大战的第一阶段,甲队前两名球员均得分而乙队前两名球员均未得分,甲队暂时以2:0领先,求甲队第5个球员需出场罚球的概率.20.如图，四棱锥中，平面，梯形满足，，且，，为中点，，.（1）求证：，，，四点共面；（2）求二面角的正弦值.21.某校兴趣小组在如图所示的矩形区域内举行机器人拦截挑战赛，在处按方向释放机器人甲，同时在处按方向释放机器人乙，设机器人乙在处成功拦截机器人甲，两机器人停止运动．若点在矩形区域内（包含边界），则挑战成功，否则挑战失败．已知米，为中点，比赛中两机器人均匀速直线运动方式行进，记与的夹角为（），与的夹角为（）．（1）若两机器人运动方向的夹角为，足够长，机器人乙挑战成功，求两机器人运动路程和的最大值；（2）已知机器人乙的速度是机器人甲的速度的倍．（i）若，足够长，机器人乙挑战成功，求．（ii）如何设计矩形区域宽的长度，才能确保无论的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙挑战成功？ 22.定义：为实数对的“正弦方差”.（1）若，证明：实数对“正弦方差”的值是与无关的定值；（2）若，若实数对的“正弦方差”的值是与无关的定值，求值.