湖南省名校联盟2023-2024学年高二上学期入学摸底考试数学（原卷版）.docx

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名校联盟·2023年下学期高二入学摸底考试数学试卷本试卷共4页．全卷满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦千净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A.B.C.D.2.已知复数满足（是虚数单位），则（）A.B.C.D.3.已知R，则“”是“”（）A充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.某读书会有6名成员，寒假期间他们每个人阅读的书本数分别如下：3，2，5，4，3，1，则这组数据的75%分位数为（）A.3B.4C.3.5D.4.55.已知，，，则（）A.B.C.D.6.某大学举办校庆，为了烘托热闹的氛围，需要准备20000盆绿色植物作装饰，已知栽种绿色植物的花盆可近似看成圆台，上底面圆直径约为9厘米，下底面圆直径约为18厘米，母线长约为7.5厘米．假定每一个花盆都装满营养土，请问共需要营养土约为（参考数据）（）A.17.02立方米B.17.23立方米C.17.80立方米D.18.22立方米7.已知，，则的值为（） A.B.C.D.8.已知正方体的边长为4，点E是棱CD的中点，P为四边形内（包括边界）的一动点，且满足平面，则点P的轨迹长为（）A.B.2C.D.1二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.中国邮政发行的《北京申办2022年冬奥会成功纪念》邮票图案分别为冬奥会会徽“冬梦”、冬残奥会会徽“飞跃”、冬奥会吉祥物“冰墩墩”、冬残奥会吉祥物“雪容融”及“志愿者标志”．现从一套5枚邮票中任取3枚，则（）A.恰有1枚吉祥物邮票的概率为B.含有志愿者标志邮票的概率为C.至少有1枚会徽邮票的概率为D.至多有1枚吉祥物邮票的概率为10.如图，在平行四边形中，为的中点，为的中点，与相交于点O，，，则（）A.B.C.D.若，，，则·＝11.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（）A.B.当时， C.在上单调递增D.不等式的解集为12.如图，在边长为2的正方形中，是的中点，将沿翻折到，连接PB，PC，F是线段PB的中点，在翻折到的过程中，下列说法正确的是（）A.存在某个位置，使得B.的长度为定值C.四棱锥体积的最大值为D.直线与平面所成角的正切值的最大值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量，，若，则的值为______．14.某公司在甲、乙两地销售同一种农产品，利润（单位：万元）分别为，，其中x为销售量（单位：吨），若该公司在这两地共销售10吨农产品，则能获得的最大利润为______万元.15.已知，若恒成立，则实数m取值范围是__________．16.在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，G为的重心，，则的取值范围为_________________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．17.在中，角对边分别为，且的面积为（1）求角的大小；（2）若是的一条中线，求线段的长.18.如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，PA为点P到平面ABCD的距离，，，，点E、M分别在线段AB、PC上，其中E是AB中点，，连接ME. （1）当时，证明：直线平面PAD；（2）当时，求三棱锥的体积.19.居民小区物业服务联系着千家万户，关系着居民的“幸福指数”．某物业公司为了调查小区业主对物业服务的满意程度，以便更好地为业主服务，随机调查了100名业主，根据这100名业主对物业服务的满意程度给出评分，分成[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]五组，得到如图所示的频率分布直方图.（1）在这100名业主中，求评分在区间[70，80)的人数与评分在区间[50，60)的人数之差；（2）估计业主对物业服务的满意程度给出评分的众数和90%分位数；（3）若小区物业服务满意度（满意度＝）低于0.8，则物业公司需要对物业服务人员进行再培训．请根据你所学的统计知识，结合满意度，判断物业公司是否需要对物业服务人员进行再培训，并说明理由．（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）20.已知函数在区间上单调，其中，，且．（1）求的图象的一个对称中心的坐标；（2）若点在函数的图象上，求函数的表达式．21.已知函数．（1）判断函数的奇偶性；（2）证明：函数在区间上单调递增；（3）令（其中），求函数的值域． 22.在三棱台中,平面,,,,.（1）证明:.