甘肃省陇南市徽县第一中学2023-2024学年高二上学期期末模拟数学试题（解析版）.docx

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2023-2024学年甘肃省陇南市徽县一中高二（上）期末模拟数学试卷（理科）一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1.不等式的解集为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】将原不等式转化为从而可求出其解集【详解】原不等式可化为，即，所以解得．故选：C2已知；，则（　　）A.假假B.假真C.真真D.真假【答案】B【解析】【分析】依次判断两个命题的真假即可得答案.【详解】解：对于命题，当时，不等式不成立，所以命题为假命题；对于命题，方程的判别式，故方程有解，即，故命题为真命题..所以，假真.故选：B第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司 3.若实数，满足，则的最小值为（）A.4B.3C.D.2【答案】C【解析】【分析】由题意可得＝2，验证等号成立的条件即可．【详解】∵实数，满足，∴，当且仅当时取等号，即时，得的最小值为.故选：C．【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，注意等号成立条件，属于基础题．4.已知向量，若与垂直，则实数的值为（）A.B.C.D.1【答案】B【解析】【分析】由，可得，即可得到方程，解得即可；【详解】，且，，即，解得：故选：B.5.已知是椭圆的左､右焦点，点在椭圆上.当最大时，求（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用椭圆的定义结合余弦定理可得时最大，利用三角形的面积公式即得.【详解】由椭圆的方程可得，，，则，第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司 所以，当且仅当则时等号成立，即为椭圆短轴端点时最大，此时，.故选：C.6.已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c且，则的取值范围是（）A.（0，3）B.（1，2）C.（2，3）D.（1，3）【答案】C【解析】【分析】先利用正弦定理，和角公式，二倍角公式等将所求式转化成，再运用条件和三角形内角和求出角范围，推理即得.【详解】由正弦定理可知由，，可得：,故,则于是：．故的取值范围是：．故选：C．7.过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，两点，若，则等于（）A.B.C.D.第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司 【答案】B【解析】【分析】求出抛物线的焦点坐标，由直线方程的点斜式写出直线的方程，和抛物线方程联立后利用弦长公式得结果.【详解】解：抛物线的焦点坐标为，设点，，易知直线的斜率存在，设为，则其方程为.由，得，得，①因为，由抛物线的定义得，即，②由①②解得，，所以.故选：B.【点睛】本题考查了抛物线的几何性质，考查了学生的计算能力，属于中档题.8.已知直线过双曲线的左焦点，且与C的渐近线平行，则l的倾斜角为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由双曲线焦点坐标求出双曲线的标准方程，然后写出双曲线的渐近线，然后分析所求直线所过的点可知它和双曲线的那一条渐近线平行即可.【详解】由双曲线方程为：，所以，由左焦点为，所以，由，第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司 所以，所以该双曲线的标准方程为：，所以渐近线方程为：，直线恒过点，且，且过，所以直线与渐近线平行，故，设直线l的倾斜角为，则，又，所以，故选：D.9.“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据充分、必要条件的知识确定正确答案.详解】，所以，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B10.已知函数，且不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】D第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司 【解析】【分析】由题意得到对任意恒成立，根据开口方向和对称轴，得到，求出答案.【详解】由不等式对任意恒成立，即对任意恒成立，∵，对称轴，∴只需即可，可得．即，解得，又，所以，故选：D．11.古代城池中的“瓮城”，又叫“曲池”，是加装在城门前面或里面的又一层门，若敌人攻入瓮城中，可形成“瓮中捉鳖”之势.如下图的“曲池”是上.下底面均为半圆形的柱体.若垂直于半圆柱下底面半圆所在平面，，，，为弧的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量求出线面角的正弦即得.第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司 【详解】在半圆柱下底面半圆所在平面内过作直线的垂线，由于垂直于半圆柱下底面半圆所在平面，则以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，于是，，又为的中点，则，，,，设平面的法向量，则，令，得，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.故选：D12.关于的方程有三个不同的实数解，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】已知方程有三个不同的实数解可转化为的图象与的图象有三个点,根据导数的几何意义，数形结合可得参数范围.第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司 【详解】由已知方程有三个不同的实数解可转化为的图象与的图象有三个点，设直线的图象与相切于点，因为，所以，解得：，又函数在单调递减，且，函数在增，且，所以函数与在所有且只有一个交点，要使的图象与的图象有三个交点，则需，即实数的取值范围是，故选：D．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13.若不等式的解集为，则等于_____．【答案】2【解析】【分析】由不等式解集为可得和1是的两个根，可求得.【详解】∵不等式的解集为，第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司 ∴且和1是的两个根，即，解得；∴．故答案为：214.如图所示，点是圆上的三点，线段与线段交于圆内一点，若，，则_______________．【答案】【解析】【分析】根据题意，利用平面向量的线性表示与共线定理，向量相等，列出方程组，解方程组即可求出的值．【详解】由，且和共线，所以存在实数，使，所以，因为所以，所以，解得，第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司 故答案为：．15.公差不为的等差数列的前项和为，若、、成等比数列，，则______________【答案】【解析】【分析】设等差数列的公差为，可得出，根据题意得出关于和的方程组，解出这两个量的值，进而可求得的值.【详解】设等差数列的公差为，可得出，由题意得，即，解得，因此，.故答案为：.【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，解答的关键就是得出关于首项和公差的方程组，考查计算能力，属于中等题.16.在平面直角坐标系中,已知椭圆=与不过坐标原点的直线=相交于两点,线段的中点为,若的斜率之积为,则椭圆的离心率为___________.【答案】【解析】【详解】设,联立直线与椭圆方程,消去y可得=,则=所以=,由题意可得==,又a2=b2+c2,所以椭圆的离心率为.第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司 故答案为点睛：本题主要考查椭圆的离心率、直线与圆锥曲线的位置关系、直线的斜率公式,考查了计算能力.三．解答题（共6小题，满分70分）17.已知满足的约束条件（1）求的最大值与最小值；（2）求的取值范围．【答案】（1）最大值是，最小值是（2）【解析】【分析】（1）利用线性规划得出可行域，即可求出最优解；（2）将化简，判断出的范围，就是与可行域内的点连线的斜率的倍加的范围，根据（1）中的可行域，即可求出斜率的最值，得出结果.【小问1详解】由，得，作出约束条件对应的可行域（阴影部分），平移直线，由平移可知当直线经过点时，直线截距最小，此时取得最大值，由，解得．将的坐标代入，得，即的最大值为．由解得，第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司 将的坐标代入，得，即目标函数的最小值为．【小问2详解】，则所求的范围，就是与可行域内的点连线的斜率的倍加的范围，而，由，解得，所以，则的范围为.18.已知函数.（1）求的值；（2）在锐角中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若，a=2，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司 【分析】（1）运用三角函数的恒等变换，可得，即可求解的值；（2）由，可推得，再结合正弦定理与三角函数图象性质，即可求解的取值范围．【小问1详解】，所以【小问2详解】，在锐角三角形中，所以，故，，由正弦定理又，及，，，则19.已知双曲线的顶点在x轴上，两顶点间的距离是2，离心率．（1）求双曲线的标准方程；（2）若抛物线的焦点F与该双曲线的一个焦点相同，点M为抛物线上一点，且，求点M的坐标．【答案】（1）第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司 （2）或【解析】【分析】(1)根据题意可知：，结合离心率得到，进而求出即可求解；(2)结合（1）的结论，求出抛物线方程，利用抛物线的定义即可求解点M的坐标.【小问1详解】由题意可知：，则，又离心率，所以，则，因为双曲线的顶点在x轴上，也即焦点在x轴上，所以双曲线方程为.【小问2详解】因为抛物线的焦点，且抛物线的焦点F与该双曲线的一个焦点相同，所以，则，所以抛物线方程为，设点，由抛物线的定义可知：，所以，又因为，所以，故点坐标为或.20.如图，在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD为正方形，，E，F，M分别是PB，CD，PD的中点．（1）证明：平面PAD．（2）求平面AMF与平面EMF的夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司 【解析】【分析】（1）取PA的中点N，证明后可得线面平行；（2）以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求二面角．【小问1详解】证明：取PA的中点N，连接EN，DN，因为E是PB的中点，所以，．又底面ABCD为正方形，F是CD的中点，所以，，所以四边形ENDF为平行四边形，所以．因为平面PAD，平面PAD，所以平面PAD．【小问2详解】以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，则，，，，．从而，，．设平面AMF的法向量为，则，令，得．设平面EMF的法向量为，则，令，得．．故平面AMF与平面EMF的夹角的余弦值为．21.已知A、B是椭圆上两点，且．（O为坐标原点）第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司 （1）求证：为定值，并求△AOB面积的最大值与最小值；（2）过O作OH⊥AB于H，求点H的轨迹方程．【答案】（1）证明见解析，△AOB面积最大值为1，最小值为（2）【解析】【分析】（1）根据已知条件，先设出点的坐标，再结合为椭圆上的点，结合三角函数的性质，即可求解；（2）根据已知条件，结合等面积法，以及（1）中的结论，即可求解.【小问1详解】因为是椭圆上两点，且，可设，即，其中，则，即，所以，由面积为，因为，当时，取得最大值1，当时，取得最小值，所以面积的最大值为1，最小值为.【小问2详解】因为，可得，又由，所以，所以，所以，所以点H的轨迹方程为．第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司 22.已知数列的通项为，前n项和为，且是与2的等差中项，数列中，，点在直线上．求数列、的通项公式．【答案】【解析】【分析】根据与的关系可求的通项公式，根据点在直线上可得数列是等差数列，可得的通项公式．【详解】∵是与2的等差中项，∴，即．∴当时，，解得．当时，，化为，∴数列是等比数列，首项为2，公比为2，．∵点在直线上．∴，即，∴数列是等差数列，首项为1，公差为2．∴．第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司