河北省沧州市运东七县联考2023-2024学年高一上学期期中数学（解析版）.docx

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2023~2024学年度高一年级第一学期期中考试数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A.B.CD.【答案】D【解析】【分析】先求出集合，再根据交集运算求.【详解】集合，所以，故选：D.2.命题“”的否定形式是A.B.C.D.【答案】C【解析】【详解】试题分析：命题的否定是把结论否定，同时存在量词与全称量词要互换，命题“”的否定形式“”．故选C．考点：命题的否定．3.如图是函数的图象，其定义域为，则函数的单调递减区间是（）第15页/共15页学科网（北京）股份有限公司 2023~2024学年度高一年级第一学期期中考试数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A.B.CD.【答案】D【解析】【分析】先求出集合，再根据交集运算求.【详解】集合，所以，故选：D.2.命题“”的否定形式是A.B.C.D.【答案】C【解析】【详解】试题分析：命题的否定是把结论否定，同时存在量词与全称量词要互换，命题“”的否定形式“”．故选C．考点：命题的否定．3.如图是函数的图象，其定义域为，则函数的单调递减区间是（）第15页/共15页学科网（北京）股份有限公司 A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据图像判断单调性，解题时需注意单调区间不能用.【详解】若函数单调递减，则对应图象呈下降趋势，由图知，的单调递减区间为和，故选：C.4.已知p：q：，则p是q的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据与的互相推出情况判断出属于何种条件.【详解】当时，，所以，所以充分性满足，当时，取，此时不满足，所以必要性不满足，所以是的充分不必要条件，故选：A.5.已知为偶函数，则（）A.B.0C.1D.2【答案】D【解析】第15页/共15页学科网（北京）股份有限公司 【分析】根据偶函数的性质，结合求解并检验即可.【详解】解：因为为偶函数，所以，，解得，所以，检验，为偶函数，符合题意．故选：D．6.已知函数则（）A.5B.0C.-3D.-4【答案】B【解析】【分析】代入求解即可.【详解】.故选：B.7.不等式的解集为（）A.B.C.或D.或【答案】B【解析】【分析】由一元二次不等式的解法求解．【详解】不等式可化为，即，解得．故选：B8.已知幂函数的图象经过点，则函数在区间上的最大值是（）A.2B.1C.D.0【答案】C【解析】第15页/共15页学科网（北京）股份有限公司 【分析】根据幂函数经过的点可得，进而利用换元法，结合二次函数的性质即可求解.【详解】设，令，由于在区间上单调递增，在上单调递减，在区间上的最大值是.故选：C.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列函数中，表示同一个函数的是（）A.与B.与C.与D.与【答案】CD【解析】【分析】根据函数的定义域以及对应关系是否相同，即可结合选项逐一求解.【详解】对于A,的定义域为的定义域为，两函数的定义域不相同，所以不是同一个函数，故A错误；对于B，的定义域为的定义域为，两函数的定义域相同，因为，所以两函数的对应关系不相同，所以两函数不是同一个函数，故B错误；对于C，的定义域为，两函数的定义域相同，对应关系也相同，所以是同一个函数，故C正确；对于D，的定义域为的定义域为第15页/共15页学科网（北京）股份有限公司 ，两函数的定义域相同，而且两函数的对应关系相同，所以两函数是同一个函数，故D正确.故选:CD.10.若集合A，B，U满足，则（）A.B.C.D.【答案】AD【解析】【分析】根据韦恩图即可得之间的关系，进而结合选项即可逐一求解.【详解】由知：与没有共同的元素，故，故A正确，∴，即B错误；仅当时，即C错误；，即D正确．故选：AD．11.已知正数满足，则下列说法一定正确的是（）A.B.C.D.【答案】AD【解析】【分析】由基本不等式对选项逐一判断．【详解】由，得．对于A，（当且仅当，即时取等号），A正确；对于B，（当且仅当，即），B错误；对于C，（当且仅当，即时取等号），第15页/共15页学科网（北京）股份有限公司 ，解得（当且仅当时取等号），C错误；对于D，（当且仅当，即时取等号），由C知（当且仅当时取等号），（当且仅当时取等号），D正确．故选：AD12.已知函数的定义域为A，若对任意，存在正数M，使得成立，则称函数是定义在A上的“有界函数”.则下列函数是“有界函数”的是（）A.B.C.D.【答案】BCD【解析】【分析】“有界函数”值域需要有界，化简各函数，并求出函数的值域，然后进行判断.【详解】对于A，，由于，所以，所以，故不存在正数M，使得成立.对于B，令，则，，所以，故存在正数1，使得成立.对于C，令，则，易得.所以，即，故存在正数5，使得成立.对于D，令，则，，则，易得，所以，故存在正数，使得成立.故选：BCD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数的定义域是__________.第15页/共15页学科网（北京）股份有限公司 【答案】【解析】【分析】根据解析式建立不等式求解即可.【详解】由，即，解得，即函数的定义域是.故答案为：14.满足Ü的集合的个数为__________.【答案】3【解析】【分析】根据子集的定义以及包含关系即可列举求解.【详解】因为Ü，所以可以为，共计3个.故答案为：315.若，则f(x)＝________.【答案】且【解析】【分析】换元法求函数的解析式，同时注意定义域问题.【详解】令，则，因为，所以，又且，所以且，所以且，故答案为：且16.已知函数是定义在上的奇函数，且，若对任意的，当时，都有成立，则不等式的解集为__________.第15页/共15页学科网（北京）股份有限公司 【答案】【解析】【分析】根据函数为奇函数，则为偶函数，又已知得函数在上单调递减，可得函数在在上单调递增，又，可得不等式与的解集，进而得到解集.【详解】令，则为偶函数，且，当时，为减函数，所以当或时，；当或时，；因此当时，；当时，，即不等式的解集为.故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知为实数，，．（1）当时，求的取值集合；（2）当Ü时，求的取值集合.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）分、两种情况讨论，求出集合，根据可得出关于的等式，即可求得实数的值；（2）分、、且三种情况，求出集合、，根据Ü可得出关于的等式，即可解得实数的值.【小问1详解】解：因为，第15页/共15页学科网（北京）股份有限公司 所以当时，，当时，．又，所以，此时，满足．所以当时，的取值集合为．小问2详解】解：当时，，Ü不成立；当时，，，Ü成立；当且时，，，由Ü，得，所以．综上，的取值集合为．18已知函数．（1）求证：在上单调递减；在上单调递增；（2）当时，求函数的值域．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由单调性定义求解，（2）由换元法求解，【小问1详解】证明：，，且，有．由，，且，得，，所以，即．第15页/共15页学科网（北京）股份有限公司 所以在上单调递减．同理，当，，且，有．故在上单调递增．【小问2详解】由（1）得在上单调递减；在上单调递增．，，所以．令，则，，由（1）得在上单调递增，所以．故函数的值域为．19.已知.（1）当时，若同时成立，求实数的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）化简，当时，解出，求它们的交集即可；（2）是的充分不必要条件，即所对应的集合Ü所对应的集合，结合包含关系，即可求.【小问1详解】当时，，即，，即，若同时成立，则，第15页/共15页学科网（北京）股份有限公司 即实数的取值范围为.【小问2详解】由（1）知，，，即，①当时，，若是的充分不必要条件，则，解得；②当时，，此时不可能是的充分不必要条件，不符合题意.综上，实数的取值范围为.20.如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了，这其中蕴含着著名的糖水不等式：．（1）证明榶水不等式；（2）已知是三角形的三边，求证：．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由作差法证明；（2）由糖水不等式变形证明．【小问1详解】，因为，所以，所以，即．小问2详解】因为是三角形的三边，所以，第15页/共15页学科网（北京）股份有限公司 由（1）知，同理，所以，所以原不等式成立．21.某企业投资144万元用于火力发电项目，年内的总维修保养费用为（）万元，该项目每年可给公司带来100万元的收入．假设到第n年年底，该项目的纯利润为y万元．（纯利润＝累计收入－总维修保养费用－投资成本）（1）写出纯利润y的表达式，并求该项目从第几年起开始盈利；（2）随着中国光伏产业的高速发展，集群效应及技术的不断革新带来了成本的进一步降低．经过慎重考虑，该公司决定投资太阳能发电项目，针对现有火力发电项目，有以下两种处理方案：①年平均利润最大时，以12万元转让该项目；②纯利润最大时，以4万元转让该项目．你认为以上哪种方案最有利于该公司的发展？请说明理由．【答案】（1），第4年起开始盈利（2）选择方案①更有利于该公司的发展，理由见解析【解析】【分析】（1）根据题意得到，解不等式得到答案.（2）分别利用均值不等式和二次函数性质计算利润的最大值，再对比时间得到答案.【小问1详解】由题意可知，令，得，解得，所以从第4年起开始盈利．【小问2详解】若选择方案①，设年平均利润为万元，则，第15页/共15页学科网（北京）股份有限公司 当且仅当，即时等号成立，所以当时，取得最大值12，此时该项目共获利（万元）．若选择方案②，纯利润，因为，所以当或8时，取得最大值80，此时该项目共获利（万元）．以上两种方案获利均为84万元，但方案①只需6年，而方案②至少需7年，所以仅考虑该项目的获利情况时，选择方案①更有利于该公司的发展．22.已知是定义在上的单调递增函数，且.（1）解不等式；（2）若对和恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）解集为（2）【解析】【分析】（1）由，不等式，化为，结合单调性，即可求；（2）恒成立问题较为最值问题，即在恒成立，进而转化为求在恒成立，对和讨论即可.【小问1详解】是定义在上的单调递增函数，且，则，即.有,解得，故所求解集为.【小问2详解】在上单调递增，当时，.第15页/共15页学科网（北京）股份有限公司 问题转化为，即，对成立.接下来求的取值范围.设，①若，则，对成立；②若，则是关于的一次函数，要使，对成立，必须，且，或.或或，即的取值范围是.第15页/共15页学科网（北京）股份有限公司