广东省封开县江口中学2024届高三上学期第二次月考数学 Word版含解析.docx

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封开县江口中学高三第二次月考数学试题一、单选题1.如图，已知全集，集合，，，图中阴影部分表示集合，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由题求解即可得答案.【详解】解：∵全集，∴由韦恩图可知，.故选：D.2.复数，，则复数在复平面内所对应的点在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【解析】【分析】先利用复数的乘法求得复数z,进而可得其在复平面内对应点的坐标.【详解】，复数在复平面内所对应的点的坐标为，故选:B.3.若，则（）A.B. C.D.【答案】A【解析】【分析】根据对数函数及指数函数的单调性判断与0，1的大小关系，即得.【详解】∵，∴.故选：A.4.已知是公差为2的等差数列，且，，成等比数列，则等于（）A.44B.48C.64D.108【答案】C【解析】【分析】由，，成等比数列，公差为2，解出的值，再根据等差数的求和公式求解即可.【详解】解：因为是公差为2的等差数列，所以，，又，，成等比数列，所以，即，解得，所以.故选：C.5.已知复数，则（）A.B.2C.D.5【答案】A【解析】【分析】利用复数的除法法则和复数的减法法则，结合复数的模公式即可求解. 【详解】由题意知，，所以，所以.故选：A.6.下列选项正确的是（）A.是的必要不充分条件B.在中，是的充要条件C.是的充要条件D.命题“，”的否定是：“，”【答案】B【解析】【分析】由可判断A；由或，结合可判断B；由，可判断C；根据全称命题的否定可判断D.【详解】选项A，若，则，若，则，∴是的充要条件，故A错误；选项B，若，则或（显然不成立），若，则，∴是的充要条件，故B正确；选项C，若，则，若，则，∴是的充分不必要条件，故C错误；选项D，命题“，”的否定是：“，”，故D错误.故选：B7.已知是第二象限的角，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】有诱导公式与同角三角函数基本关系求解即可【详解】 故选：A8.在中，内角，，所对的边分别为，，，，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据正弦定理进行角化边，再由余弦定理可解.【详解】根据题意，，利用正弦定理得：，再结合，可得，由余弦定理：，所以D选项正确.故选：D二、多选题9.设a，b，c是实数，且，则下列不等式恒成立的是（）A.B.C.D.【答案】AD【解析】【分析】根据不等式性质，结合指数函数和对数函数的单调性，即可判断和选择.【详解】对A：若，故，则，即，故A正确；对B：当时，，故B错误；对C：是上的单调增函数，但大小关系不确定，故无法判断，C错误；对D：，故，为上的单调增函数，故，D正确.故选：AD.10.在单位圆中，已知角的终边与单位圆的交点为，则（） A.B.C.D.【答案】AB【解析】【分析】先利用三角函数定义求得，进而求得的值判断选项A；求得的值判断选项B；求得的值判断选项C；求得的值判断选项D.【详解】角的终边与单位圆的交点为则，则选项A判断正确；所以，则选项B判断正确；，则选项C判断错误；，则选项D判断错误.故选：AB11.已知向量，则（）A.B.向量的夹角为C.D.在方向上的投影向量是【答案】BD【解析】【分析】根据向量的加法求出，由两个向量垂直，数量积为零，求出，然后逐一判断各选项，在方向上的投影向量为.【详解】已知则， ，，，，故A错误；，所以向量的夹角为，故B正确；，，故错误；在方向上的投影向量为，故D正确.故选：BD.12.把函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象恰好关于轴对称，则下列说法正确的是（）A.的最小正周期为B.关于点对称C.在上单调递增D.若在区间上存在最大值，则实数的取值范围为【答案】ACD【解析】【分析】先利用辅助角公式化简，再通过图像平移求得新的函数，从而利用关于轴对称求得，由此得到的解析式，最后结合三角函数的性质即可对选项逐一判断.【详解】因为，所以把的图像向左平移个单位长度得到函数的图像， 因为关于轴对称，所以，，即，，又因为，所以，，对于A，，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，由，得，所以当时，的单调递增区间为，又因为，所以在上单调递增，故C正确；对于D，若函数在上存在最大值，由选项C可知，在上单调递增，且，即在时取得最大值，所以，即实数的取值范围为，故D正确.故选：ACD.三、填空题13.等比数列中，公比q=2，S4=1，则S8=___________.【答案】17【解析】【分析】根据等比数列的性质得到，进而求出的值.【详解】因为，即，又，所以. 故答案为：1714.已知向量、不共线，且向量与平行，则实数________.【答案】【解析】【分析】设，根据平面向量的基本定理可得出关于、的方程组，即可解得实数的值.【详解】因为向量与平行，设，其中，因为向量、不共线，则，解得.故答案为：.15.曲线在点处切线的斜率为___________.【答案】2【解析】【分析】首先求导得到，再利用导数的几何意义求解即可.【详解】，，.故答案为：216.已知函数且，则_____.【答案】1或【解析】【分析】分类讨论，代入不同函数解析式，即可求得参数值.【详解】若，则，解得或（舍去）；若，则，解得（舍去）， 综上，或.故答案为：1或.【点睛】本题考查由分段函数的函数值求自变量，属于简单题目.四、解答题17.已知是等差数列，，．（1）求的通项公式；（2）求数列的前n项和．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先利用已知条件求出公差，再利用等差数列的通项公式求解即可；（2）先由（1）知，再利用等差和等比数列的前项和公式求解即可.【详解】解：（1）因为，，所以公差，则的通项公式为．（2）由（1）知，所以．18.已知函数在时有极值．（1）求函数的解析式及单调区间；（2）求函数在区间的最大值与最小值．【答案】（1）；的单调增区间为和，单调减区间为；（2）最大值为20，最小值为0. 【解析】【分析】（1）先依题列式解得参数，再检验参数否满足题意，即得解析式和单调区间；（2）利用（1）中函数的单调性，计算极值和区间端点处的函数值，并比较大小，即得结果.【详解】解：（1）在时有极值且，，即，解得，此时，，，令解得，令解得，上单调递增，在上单调递减，上单调递增，即函数确实在时取得极值，故的解析式为，的单调增区间为和，单调减区间为.（2）由（1）知在上单调递增，单调递减，在单调递增，极大值为，又，；极小值为，，；所以在区间最大值为20，最小值为0.【点睛】思路点睛：利用导数研究函数的最值的步骤：①写定义域，对函数求导；②在定义域内，解不等式和得到单调性；③利用单调性判断极值点，比较极值和端点值得到最值即可.19.在中，角所对的边分别为，且，.（1）若，求的值；（2）若的面积是，求的值.【答案】（1）（2）. 【解析】【分析】（1）先由，得到，根据两角和的余弦公式可求出，再由正弦定理可得，求出，进而可得出结果；（2）先由三角形面积公式求出，再根据余弦定理即可求出结果.【详解】（1），.，由正弦定理得，，即，解得..（2），，由余弦定理得，，，，.【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理和余弦定理即可，属于常考题型.20.已知正项等比数列，其中，，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，令．第一列第二列第三列第一行第二行第三行（1）求数列和的通项公式； （2）设数列的前项和为，证明：．【答案】（1）；；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由表格数据可确定，由此可得等比数列公比，由等比数列通项公式可得；由对数运算可得；（2）由（1）可得，采用裂项相消法可求得，由可推导证得结论.【详解】（1）由题意得：，，，等比数列的公比，．又，.（2）由（1）知：，，，，，.【点睛】方法点睛：本题重点考查了裂项相消法求解数列的前项和的问题，裂项相消法适用于通项公式为形式的数列，即，进而前后相消求得结果.21.在△ABC中，已知，.（1）求的值；（2）若的面积为，求边的长.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】 （1）先根据已知条件求出，再由求出，从而求出角；（2）设，利用正弦定理得求出，再利用求出，所以的面积为：，所以，即．【详解】解：（1）在中，，，，，，故，所以，，所以；（2）由（1）知，设，利用正弦定理：得：，又，解得，所以的面积为：，所以，即．【点睛】本题主要考查了正弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，属于中档题．22.已知函数，.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，，求的取值范围.【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增（2）【解析】【分析】（1）利用导函数与单调性的关系求解；（2）利用导数与单调性和最值的关系分类讨论求解即可. 【小问1详解】因为，令，解得或，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.【小问2详解】设，注意到.有，注意到.设，有.①当时，对于，有，所以在区间上单调递增，所以对于，有，从而在区间上单调递增，故对于，有.符合题意.②当时，因，所以存在，使得对于，有.从而在区间上单调递减，故对于，有.不符合题意.综上，的取值范围是.