《相交线中求角》专题练习：重点题型（解析版）.docx

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《相交线中求角》专题练习：重点题型（解析版）专题02相交线中求角【例题讲解】如图,直线AB,CD相交于点O,OE平分∠BOD,OF平分∠COE．(1)若∠AOC＝76°,求∠BOF的度数;(2)若∠BOF＝36°,求∠AOC的度数;(3)请探究∠AOC与∠BOF的数量关系．解：(1),又平分,．,平分,,．(2)平分,平分,,,设,则,故,,则,解得：,故．(3)由(1)知,即．15 《相交线中求角》专题练习：重点题型（解析版）【综合解答】1．如图,直线AB、CD相交于点O,OE把分成两部分,(1)直接写出图中的对顶角为________,的邻补角为________;(2)若,且=2：3,求的度数.【答案】(1)∠BOD;∠AOE;(2)152°【分析】(1)根据对顶角和邻补角的定义直接写出即可;(2)根据对顶角相等求出∠BOD的度数,再根据∠BOE：∠EOD=2：3求出∠BOE的度数,然后利用互为邻补角的两个角的和等于180°即可求出∠AOE的度数．【详解】解：(1)∠AOC的对顶角是∠BOD,∠EOB的邻补角是∠AOE,故答案为∠BOD,∠AOE;(2)∵∠AOC=70°,∴∠BOD=∠AOC=70°,∵∠BOE：∠EOD=2：3,∴∠BOE=×70°=28°,∴∠AOE=180°-28°=152°．∴∠AOE的度数为152°．【点睛】本题主要考查了对顶角和邻补角的定义,利用对顶角相等的性质和互为邻补角的两个角的和等于180°求解是解答此题的关键．2．如图,直线AB、CD、EF相交于点O,OG平分∠COF,∠1=30°,∠2=45°．求∠3的度数．【答案】∠3=52.5°15 《相交线中求角》专题练习：重点题型（解析版）【详解】试题分析：先求出∠EOD的度数,从而得出∠COF=105°,再根据OG平分∠COF,可得∠3的度数．试题解析：∵∠1=30°,∠2=45°∴∠EOD=180°﹣∠1﹣∠2=105°∴∠COF=∠EOD=105°又∵OG平分∠COF,∴∠3=∠COF=52.5°．考点：对顶角、邻补角．3．如图,直线AB、CD相交于点O,∠DOE＝∠BOD,OF平分∠AOE．(1)判断OF与OD的位置关系,并说明理由;(2)若∠AOC：∠AOD＝1：5,求∠EOF的度数．【答案】(1)OF⊥OD,理由见解析;(2)∠EOF＝60°【分析】(1)利用角平分线的定义结合已知求出∠FOD＝90°即可得出答案;(2)求出∠AOC的度数,再利用对顶角的性质和角平分线的定义求出∠BOD＝∠AOC＝∠EOD＝30°,进而得出∠EOF的度数．(1)解：OF⊥OD,理由：∵OF平分∠AOE,∴∠AOF＝∠FOE,∵∠DOE＝∠BOD,∴∠AOF＋∠BOD＝∠FOE＋∠DOE＝×180°＝90°,即∠FOD＝90°,∴OF与OD的位置关系是OF⊥OD;(2)∵∠AOC：∠AOD＝1：5,15 《相交线中求角》专题练习：重点题型（解析版）∴∠AOC＝×180°＝30°,∴∠BOD＝∠AOC＝∠EOD＝30°,∴∠AOE＝120°,∴∠EOF＝∠AOE＝60°．【点睛】此题主要考查了角平分线的定义以及邻补角的性质,正确得出各角之间的关系是解题关键．4．如图,直线,相交于点,,垂足为．(1)若,求的度数;(2)若,求的度数．【答案】(1)125°;(2)150°【分析】(1)把的度数计算出来,再根据对顶角的性质即可得到答案;(2)根据,设,得到,最后根据即可得到答案;【详解】解：(1),,;(2),设,又,,,又,,15 《相交线中求角》专题练习：重点题型（解析版）．【点睛】本题主要考查了对顶角的性质(对顶角相等)和邻补角的性质,熟练掌握邻补角的性质和对顶角的性质是解题的关键．5．如图,直线AB,CD相交于O点,OM平分∠AOB,(1)若∠1＝∠2,求∠NOD的度数;(2)若∠BOC＝4∠1,求∠AOC与∠MOD的度数．【答案】(1)90°;(2)∠AOC＝60°;∠MOD＝150°.【分析】(1)根据角平分线的性质可得∠1+∠AOC＝90°,再利用等量代换可得∠2+∠AOC＝90°,利用邻补角互补可得答案;(2)根据条件可得90°+∠1＝4∠1,进而可得求出∠1＝30°,从而可得∠AOC的度数,再利用邻补角互补可得∠MOD的度数．【详解】(1)∵OM平分∠AOB,∴∠1+∠AOC＝90°．∵∠1＝∠2,∴∠2+∠AOC＝90°,∴∠NOD＝180°﹣90°＝90°;(2)∵∠BOC＝4∠1,∴90°+∠1＝4∠1,∴∠1＝30°,∴∠AOC＝90°﹣30°＝60°,∠MOD＝180°﹣30°＝150°．【点睛】本题考查了角平分线和邻补角,关键是掌握邻补角互补．6．如图,直线AB,CD,EF相交于点O.(1)写出∠COE的邻补角;(2)分别写出∠COE和∠BOE的对顶角;(3)如果∠BOD＝60°,∠BOF＝90°,求∠AOF和∠FOC的度数．【答案】(1)∠COE的邻补角为∠COF和∠EOD;(2)∠COE和∠BOE的对顶角分别为∠DOF和∠AOF;(3)∠FOC=150°．【分析】(1)根据邻补角的定义(两个角有一条公共边,它们的另一条边互为反向延长线,15 《相交线中求角》专题练习：重点题型（解析版）具有这种关系的两个角)可得,∠COE的邻补角有∠COF和∠EOD两个角;(2)根据对顶角的定义(一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线,且这两个角有公共顶点)可得,∠COE和∠BOE的对顶角分别为∠DOF和∠AOF;(3)由∠BOF=90°可得：AB⊥EF,所以∠AOF=90°,由∠AOC=∠BOD可得：∠AOC=60°,由∠FOC=∠AOF+∠AOC即可求出∠FOC的度数;【详解】(1)∠COE的邻补角为∠COF和∠EOD;(2)∠COE和∠BOE的对顶角分别为∠DOF和∠AOF;(3)∵∠BOF=90°,∴AB⊥EF∴∠AOF=90°,又∵∠AOC=∠BOD=60°∴∠FOC=∠AOF+∠AOC=90°+60°=150°．7．如图,直线AB、CD相交于点O,OE平分∠BOD,OF平分∠COE．(1)若∠AOC=76°,求∠BOF的度数;(2)若∠BOF=36°,求∠AOC的度数;【答案】(1)∠BOF=33°(2)∠AOC=72°【分析】(1)先根据对顶角相等求出∠BOD=76°,再由角平分线定义得∠DOE=∠BOE=38°,由邻补角得∠COE=142°,再根据角平分线定义得∠EOF=71°,从而可得结论．(2)利用角平分的定义得出,进而表示出各角求出答案．【详解】(1)∵∠AOC、∠BOD是对顶角,∴∠BOD=∠AOC=76°,∵OE平分∠BOD,∴∠DOE=∠BOE=∠BOD=38°15 《相交线中求角》专题练习：重点题型（解析版）∴∠COE=142°,∵OF平分∠COE．∴∠EOF=∠COE=71°,又∠BOE+∠BOF=∠EOF,∴∠BOF=∠EOF−∠BOE=71°−38°=33°,(2)∵OE平分∠BOD,OF平分∠COE,∴,∴设,则,故,,则,解得,故∠AOC=72°．【点睛】本题考查了角平分线的定义和对顶角的性质,解决本题的关键是掌握对顶角的定义(从一个角的顶点引出一条射线,把这个角分成两个完全相同的角,这条射线叫做这个角的角平分线)．8．如图,直线、相交于点,平分,．(1)若∠AOF=50°,求∠BOE的度数;(2)若∠BOD：∠BOE=1：4,求∠AOF的度数．【答案】(1);(2)．【分析】(1)根据补角,余角的关系,可得∠COB,根据角平分线的定义,可得答案;(2)根据邻补角,可得关于x的方程,根据解方程,可得∠AOC,再根据余角的定义,可得答案．【详解】(1)∵∠COF与∠DOF是邻补角,∴∠COF=180°−∠DOF=90°．∵∠AOC与∠AOF互为余角,∴∠AOC=90°−∠AOF=90°−50°=40°．∵∠AOC与∠BOC是邻补角,15 《相交线中求角》专题练习：重点题型（解析版）∴∠COB=180°−∠AOC=180°−40°=140°．∵OE平分∠BOC,∴∠BOE=∠BOC=70°;(2)∠BOD：∠BOE=1：4,设∠BOD=∠AOC=x,∠BOE=∠COE=4x．∵∠AOC与∠BOC是邻补角,∴∠AOC+∠BOC=180°,即x+4x+4x=180°,解得x=20°．∵∠AOC与∠AOF互为余角,∴∠AOF=90°−∠AOC=90°−20°=70°．【点睛】此题考查角平分线的定义,对顶角、邻补角,解题关键在于掌握其性质定义．9．如图,∠1=∠2,∠1+∠2=162°,求∠3与∠4的度数．【答案】∠3=54°   ∠4=72°【详解】试题分析：本题首先根据方程思想,求出.∠1、∠2的度数,再根据对顶角、邻补角的关系求出∠3与∠4的度数．试题解析：由已知∠1=∠2,∠1+∠2=162°,解得：∠1=54°,∠2=108°．∵∠1与∠3是对顶角,∴∠3=∠1=54°．∵∠2与∠4是邻补角,∴∠4=180°﹣∠2=72°．考点：1二元一次方程组;2对顶角;3邻补角.10．如图,直线AB,CD相交于点O,EO⊥AB,垂足为O．15 《相交线中求角》专题练习：重点题型（解析版）(1)若∠COE＝35°,则∠AOD的度数为_________°(直接写出结果);(2)若∠AOD＋∠COE＝170°,求∠COE的度数．【答案】(1)125(2)40°【分析】(1)先根据两角互余求出∠AOC的度数,再利用邻补角即可求出∠AOD的度数;(2)设,则,再利用周角列出方程,解出的值之后再利用互余即可求出∠COE的度数．(1)解：∵∠COE＝35°,EO⊥AB,∴,∴．又∵∠AOD是∠AOC的邻补角,∴．(2)解：设,则,∴,即,解得．∴．【点睛】本题考查了两角互余的关系和邻补角以及周角,解题的关键是熟练掌握互余、互补的概念和对顶角相等以及周角为,互余是指两角之和为90°,互补是指两角之和为180°,并且熟知两个角有一条公共边,它们的另一边互为反向延长线,具有这种关系的两个角,叫做邻补角．11．如图,直线,相交于点,把分成两部分．15 《相交线中求角》专题练习：重点题型（解析版）(1)直接写出图中的对顶角为______,的邻补角为______．(2)若,且．求的度数．【答案】(1),;(2)126゜【分析】(1)根据对顶角和邻补角的定义直接写出即可;(2)根据对顶角相等求出∠BOD的度数,再根据∠BOE：∠EOD=2：3求出∠BOE和∠EOD的度数,即可求出∠EOC的度数．【详解】解：(1)的对顶角为,的邻补角为．(2)∵∠BOE：∠EOD=2：3,设,,则解得：．∴．∴．【点睛】本题主要考查了对顶角与邻补角的定义,解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.12．如图,直线AB和CD相交于点O,OE把∠AOC分成两部分且∠AOE：∠EOC＝3：5,OF平分∠BOE．(1)若∠BOD＝80°,求∠BOE;(2)若∠BOF＝∠AOC+14°,求∠EOF．15 《相交线中求角》专题练习：重点题型（解析版）【答案】(1)150°;(2)78°【分析】(1)根据对顶角相等,可得∠AOC的度数,根据∠AOE：∠EOC＝3：5,可得∠AOE,根据邻补角,可得答案;(2)根据角平分线的性质,可得∠BOE,根据∠AOE：∠EOC＝3：5,可得∠AOE,根据邻补角的关系,可得关于∠AOC的方程,根据角的和差,可得∠BOE,根据角平分线的性质,可得答案．【详解】解：(1)由对顶角相等,得∠AOC＝∠BOD＝80°,∵OE把∠AOC分成两部分且∠AOE：∠EOC＝3：5,∴∠AOE＝∠AOC×＝30°,由邻补角,得∠BOE＝180°﹣∠AOE＝180°﹣30°＝150°,(2)∵OF平分∠BOE,∴∠BOE＝2∠BOF＝2∠AOC+28°,∵∠AOE：∠EOC＝3：5,∴∠AOE＝∠AOC,由邻补角,得∠BOE+∠AOE＝180°,即2∠AOC+28°+∠AOC＝180°,解得∠AOC＝64°,∠AOE＝∠AOC＝×64＝24°,由角的和差,得∠BOE＝180°﹣∠AOE＝180°﹣24°＝156°,∵OF平分∠BOE,∴∠EOF＝∠BOE＝×156°＝78°．【点睛】本题主要考查了对顶角、邻补角的性质和角平分线的定义以及角的和差倍分关系,解决本题的关键是要熟练掌握角平分线的定义和角的和差倍分关系．13．如图,直线,相交于点,,垂足为．(1)直接写出图中的对顶角为,的邻补角为;(2)若,求的度数．【答案】(1);,;(2)150°【分析】(1)根据对顶角、邻补角的定义寻找对顶角和邻补角即可;15 《相交线中求角》专题练习：重点题型（解析版）(2)设∠BOD=x,则∠COE=2x,再根据∠BOD与∠COE互余可求得x的值,从而得出∠AOC的大小,进而得出∠AOD的大小．【详解】(1)∠AOC的对顶角为：∠BOD∠BOD的邻补角为：∠BOC,∠AOD(2)∵设∠BOD=x,则∠COE=2x∵OE⊥AB∴∠EOB=90°∴∠COE+∠BOD=90°,即x+2x=90°解得：x=30°∴∠BOD=∠COA=30°∴∠AOD=150°【点睛】本题考查角度的简单推导,解题关键是利用对顶角相等和补角为180°转化求解．14．如图,直线MD、CN相交于点O,OA是∠MOC内的一条射线,OB是∠NOD内的一条射线,∠MON＝70°．(1)若∠BOD＝∠COD,求∠BON的度数;(2)若∠AOD＝2∠BOD,∠BOC＝3∠AOC,求∠BON的度数．【答案】(1)75°(2)54°【分析】(1)先由对顶角相等求出∠COD＝70°,再由已知条件求出∠BOD的度数,根据邻补角的定义与角的和差进行求解即可;(2)设∠AOC＝x°,则∠BOC＝3x°,利用角的和差即可解得x,进而求解．(1)∵∠MON＝70°,15 《相交线中求角》专题练习：重点题型（解析版）∴∠COD＝∠MON＝70°,∴∠BOD＝∠COD＝,∴∠BON＝180°﹣∠MON﹣∠BOD＝180°﹣70°﹣35°＝75°;(2)设∠AOC＝x°,则∠BOC＝3x°,∵∠COD＝∠MON＝70°,∴∠BOD＝∠BOC﹣∠COD＝3x°﹣70°,∴∠AOD＝∠AOC+∠COD＝x°+70°,∵∠AOD＝2∠BOD,∴x+70＝2(3x﹣70),解得x＝42,∴∠BOD＝3x°﹣70°＝3×42°﹣70°＝56°,∴∠BON＝180°﹣∠MON﹣∠DOB＝180°﹣70°﹣56°＝54°．【点睛】本题考查了对顶角相等、邻补角的定义及角的和差,熟练掌握知识点是解题的关键．15．如图,直线AB、CD相交于点O,OE⊥AB,且∠DOE=5∠COE,求∠AOD的度数．【答案】120°【分析】由OE⊥AB可得∠EOB=90°,设∠COE=x,则∠DOE=5x,而∠COE+∠EOD=180°,即x+5x=180°,得到x=30°,则∠BOC=30°+90°=120°,利用对顶角相等即可得到∠AOD的度数．【详解】解：∵OE⊥AB,∴∠EOB=90°,设∠COE=x,则∠DOE=5x,∵∠COE+∠EOD=180°,∴x+5x=180°,∴x=30°,∴∠BOC=∠COE+∠BOE=30°+90°=120°,∴∠AOD=∠BOC=120°．15 《相交线中求角》专题练习：重点题型（解析版）15 《相交线中求角》专题练习：重点题型（解析版）15