山西省太原市2022-2023学年高二下学期期中数学Word版含解析

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2022~2023学年高二年级第二学期期中质量监测数学试卷说明:本试卷为闭卷笔答,答题时间90分钟,满分100分.一、选择题(本题共8小题,每小题3分,共24分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.某班有25名同学,春节期间若互发一条问候微信,则他们发出的微信总数是()A.50B.100C.300D.600【答案】D【解析】【分析】利用排列及排列数公式即可求解.【详解】由题意可知,他们发出的微信总数是.故选:D.2.某市对机动车单双号限行进行了调查,在参加调查的2748名有车人中有1760名持反对意见,2652名无车人中有1400名持反对意见,在运用这些数据说明“拥有车辆”与“反对机动车单双号限行”是否相关时,用下列哪种方法最有说服力()A.平均数B.方差C.独立性检验D.回归直线方程【答案】C【解析】【分析】根据在参加调查的2748名有车人中有1760名持反对意见,2652名无车人中有1400名持反对意见,求出的值判断.【详解】解:由在参加调查的2748名有车人中有1760名持反对意见,2652名无车人中有1400名持反对意见,得,所以有的把握认为“拥有车辆”与“反对机动车单双号限行”有关,故利用独立性检验方法最有说服力,故:C3.的展开式中的系数为()A.15B.12C.6D.1

1【答案】A【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式,确定出是第几项,进而确定出这一项的系数.【详解】展开式的通项公式为,令,解得,故展开式中的系数为.故选∶A4.在端午小长假期间,某办公室要从4名职员中选出若干人在3天假期坚守岗位,每天只需1人值班,则不同的排班方法有()A.12种B.24种C.64种D.81种【答案】C【解析】【分析】分析每天排班方法数,再由分步计数原理求解即可【详解】根据题意,第一天值班可以安排4名职员中的任意1人,有4种排班方法,同理第二天和第三天也有4种排班方法,根据分步计数原理可知,不同的排班方法有种,故选:C5.设随机变量,若,则等于()A.0.5B.0.6C.0.7D.0.8【答案】D【解析】【分析】根据正态曲线的对称性可得,再根据概率的性质可得结果.【详解】因为正态曲线关于对称,且,所以,所以.故选:D【点睛】本题考查了正态曲线的对称性,考查了概率的性质,属于基础题.6.根据历年气象统计资料,某地4月份的任一天刮东风的概率为,下雨的概率为

2,既刮东风又下雨的概率为.则4月8日这一天,在刮东风的条件下下雨的概率为()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】设事件表示吹东风,事件表示下雨,得到,,结合,即可求解.【详解】由题意,设事件表示吹东风,事件表示下雨,则,,,所以在吹东风的条件下下雨的概率为.故选:D.7.随机变量X的取值为0,1,2,若,,则()A.B.C.D.1【答案】B【解析】【分析】设,,则由,,求出,,由此能求出.【详解】设,,由题意得,解得,,.故选:B8.中国南北朝时期的著作《孙子算经》中,对同余除法有较深的研究.设,,为整数,若和被除得的余数相同,则称和对模同余,记为.若

3,,则的值可以是()A.2020B.2021C.2022D.2023【答案】B【解析】【分析】利用二项式定理化简得,展开可得被5除得的余数为1,由此可求出符合条件的的值.【详解】,被5除得的余数为1,选项中的数被5除得的余数为1的只有2021.故选:B二、选择题(本题共4小题,每小题3分,共12分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得3分,部分选对的得2分,有选错的得0分)9.对于样本相关系数,下列说法正确的是()A.的取值范围是B.越大,相关程度越弱C.越接近于0,成对样本数据的线性相关程度越强D.越接近于1,成对样本数据的线性相关程度越强【答案】AD【解析】【分析】根据已知条件,结合相关系数的定义,即可依次求解.【详解】对于样本相关系数,取值范围是,越大,越接近于1,成对样本数据的线性相关程度越强;越小,越接近于0,成对样本数据的线性相关程度越弱.故选:AD10.某医院派出甲、乙、丙、丁4名医生到,,三家企业开展“新冠肺炎”防护排查工作,每名医生只能到一家企业工作,则下列结论正确的是()A所有不同分派方案共种B.若每家企业至少分派1名医生,则所有不同分派方案共36种

4C.若每家企业至少派1名医生,且医生甲必须到企业,则所有不同分派方案共12种D.若企业最多派1名医生,则所有不同分派方案共48种【答案】BCD【解析】【分析】求得所有不同分派方案数判断选项A;求得每家企业至少分派1名医生的所有不同分派方案数判断选项B;求得每家企业至少派1名医生,且医生甲必须到企业的所有不同分派方案数判断选项C;求得企业最多派1名医生的所有不同分派方案数判断选项D【详解】选项A:所有不同分派方案共种.判断错误;选项B:若每家企业至少分派1名医生,先把4名医生分成3组(2人,1人,1人)再分配.则所有不同分派方案共(种).判断正确;选项C:若每家企业至少派1名医生,且医生甲必须到企业,则企业可以只有医生甲,也可以有医生甲和另一名医生,则所有不同分派方案共(种).判断正确;选项D:若企业最多派1名医生,则企业可以有1名医生和没有医生两种情况,则不同分派方案共(种).判断正确.故选:BCD11.人民日报智慧媒体研究院在2020智慧媒体高峰论坛上发布重磅智能产品—人民日报创作大脑,在AI算法的驱动下,无论是图文编辑、视频编辑,还是素材制作,所有的优质内容创作都变得更加容易.已知某数据库有视频a个、图片b张,从中随机选出一个视频和一张图片,记“视频甲和图片乙入选”为事件A,“视频甲入选”为事件B,“图片乙入选”为事件C,则下列判断中正确的是()A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】利用相互独立事件的概率乘法公式,结合选项,逐项判定,即可求解.

5【详解】由相互独立事件的概率的乘法计算公式,可得A错误,B正确;事件包含“视频甲未入选,图片乙入选”、“视频甲入选,图片乙未入选”、“视频甲、图片乙都未入选”三种情况,所以,则,所以C正确;由题可知,,,因为a,,,所以,即,故D错误.故选:BC.12.第22届世界杯足球赛于2022年11月20日到12月18日在卡塔尔举行.世界杯足球赛的第一阶段是分组循环赛,每组四支队伍,每两支队伍比赛一场,比赛双方若有胜负,则胜方得3分,负方得0分;若战平,则双方各得1分.已知某小组甲、乙、丙、丁四支队伍小组赛结束后,甲队积7分,乙队积6分,丙队积4分,则()A.甲、丁两队比赛,甲队胜B.丁队至少积1分C.乙、丙两队比赛,丙队负D.甲、丙两队比赛,双方战平【答案】ACD【解析】【分析】分析得到甲胜乙和丁,平丙,乙胜丙和丁,丙胜丁,平甲,丁全负,对比选项得到答案.【详解】甲队积7分,胜两场平一场;乙队积6分,胜两场负一场,负的一场一定是负给甲的,乙队胜了丙、丁两队,对.丙队积了4分,胜平负各一场,负是输给乙,当甲、丙平时,丙胜丁,甲胜丁;当丙、丁平时,丙胜甲,不可能.故甲丙平,甲胜丁,AD对,丁队全负,B错误.故选:ACD.三、填空题(本题共4小题,每小题4分,共16分)13.某市的有线电视可以接收中央台12个频道,本地台8个频道和其他省市40个频道的节目.若有3个频道正在转播同一个节目,其余频道正在播放互不相同的节目,则一台电视可以选看的不同节目共有______个.【答案】58【解析】【分析】直接计算即可.【详解】由题意可得该市的有线电视可接收12+8+40=60个频道,而其中3个频道播放1个节目,其余

657个频道互不相同,则可选看57+1=58个节目.故答案为:5814.已知回归方程,而试验中的一组数据是,,,则其残差平方和是______.【答案】0.03【解析】【分析】利用残差的定义求解,求得的残差平方后求和即可.【详解】残差,当时,,当时,,当时,,残差平方和为故答案为:0.03.15.某射击小组共有20名射手,其中一级射手4人,二级射手8人,三级射手8人.若一、二、三级射手通过选拔进入比赛的概率分别是0.9,0.7,0.4.则任选一名射手通过选拔进入比赛的概率是______.【答案】0.62##【解析】【分析】分别求出选中一级射手.二级射手、三级射手并通过选拔进入比赛的概率,再求和即可【详解】射击小组共有20名射手,其中一级射手4人,二级射手8人,三级射手8人,若一、二、三级射手通过选拔进入比赛的概率分别是0.9,0.7,0.4.则任选一名射手能够通过选拔进入比赛概率.故答案为:0.6216.已知一袋中有标有号码1、2、3、4的卡片各一张,每次从中取出一张,记下号码后放回,当四种号码的卡片全部取出时即停止,则恰好取6次卡片时停止的概率为______.【答案】【解析】【分析】恰好取6次卡片时停止,说明前5次出现了3种号码且第6次出现第4种号码.分两类,三种号码出现的次数分别为3,1,1或者2,2,1.每类中可以分步完成,先确定三种号码卡片出现顺序有种,再分别确定这三种号码卡片出现的位置(注意平均分组问题),最后让第四种颜色出现有一种方法,相乘可得,最后根据古典概型求概率即可.【详解】由分步乘法计数原理知,每次从中取出一张,记下号码后放回,进行6次一共有

7种不同的取法.恰好取6次卡片时停止,说明前5次出现了3种号码且第6次出现第4种号码,三种号码出现的次数分别为3,1,1或者2,2,1,三种号码分别出现3,1,1且6次时停止的取法有种,三种号码分别出现2,2,1且6次时停止的取法有种,由分类加法计数原理知恰好取6次卡片时停止,共有种取法,所以恰好取6次卡片时停止的概率为:,故答案为:【点睛】本题主要考查了概率的求法,计数原理等基础知识,考查了排列组合的应用,难点在于平均分组问题,属于难题.四、解答题(本题共5小题,共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.在的展开式中,前三项的二项式系数之和等于79.(1)求的值;(2)若展开式中的常数项为,求的值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)根据二项式系数的定义及组合数计算即可;(2)设二项式的展开式通项,待定系数计算即可.【小问1详解】因为前三项的二项式系数之和等于79,所以,解得或.因,所以.【小问2详解】设的通项为,

8所以当时,,此时,常数项为,解得.18.某校高二年级为研究学生数学成绩与语文成绩的关系,采取有放回的简单随机抽样,从高二学生中抽取样本容量为200的样本,将所得数学成绩与语文成绩的样本观测数据整理如下:语文成绩合计优秀不优秀数学成绩优秀503080不优秀4080120合计90110200(1)根据的独立性检验,能否认为数学成绩与语文成绩有关联?(2)在人工智能中常用表示在事件发生的条件下事件发生的优势,在统计中称为似然比.现从该校学生中任选一人,表示“选到的学生语文成绩不优秀”,表示“选到的学生数学成绩不优秀”.请利用样本数据,估计的值.附:.0.050.010.0013.8416.63510.828【答案】(1)能(2)【解析】【分析】(1)计算出,与的临界值比较,得出结论;(2)根据条件概率的计算公式,利用样本数据,估计的值.【小问1详解】

9零假设为:数学成绩与语文成绩无关,据表中数据计算得,根据的独立性检验,我们推断不成立,认为数学成绩与语文成绩有关.【小问2详解】表示“选到的学生语文成绩不优秀”,表示“选到的学生数学成绩不优秀”,利用样本数据,则有,,所以,则估计的值为.19.某种人脸识别方法,采用了视频分块聚类自动识别系统.规定:某区域内的个点的深度的均值为,标准差为,深度的点视为孤立点.下表给出某区域内8个点的数据:15.115.215.315.415.515.415.413.815.114.214.314.414.515.414.415.42012131516141218(1)根据以上数据,计算的值;(2)判断表中各点是否为孤立点.【答案】(1)(2)都不是【解析】

10【分析】(1)直接根据公式计算和即可;(2)计算出,,从而判断出各点不是孤立的点.【小问1详解】,.【小问2详解】,,则,因为12,13,14,15,16,18,20均属于,所以各点都不是孤立点.20.在某次数学考试中,共有四道填空题,每道题5分.已知某同学对于前三道题,每道题答对的概率均为,答错的概率均为;对于第四道题,答对和答错的概率均为.(1)求该同学在本次考试中填空题得分不低于15分的概率;(2)设该同学在本次考试中,填空题的总得分为,求的分布列及均值.【答案】(1)(2)分布列见解析,【解析】【分析】(1)记该同学前三道题答对道为事件,第四道答对为事件,由求解;(2)由的取值可能为0,5,10,15,20,分别求得其概率,列出分布列,再求均值.【小问1详解】解:记该同学前三道题答对道为事件,第四道答对为事件,,,

11,∴.【小问2详解】的取值可能为0,5,10,15,20,,,,,.则的分布列为:05101520.该同学填空题得分的均值是14.5分.21.在某次数学考试中,共有四道填空题,每道题5分.已知某同学对于前两道题,每道题答对的概率均为,答错的概率均为;对于第三道题,答对和答错的概率均为;对于最后一道题,答对的概率为,答错的概率为.(1)求该同学在本次考试中填空题得分不低于15分的概率;(2)设该同学在本次考试中,填空题的总得分为,求的分布列及均值.【答案】(1)(2)分布列见解析,12.5

12【解析】【分析】(1)根据互斥事件的概率加法公式和独立事件的概率乘法公式求解即可.(2)先写出X的所有可能取值,再求出相应的概率,列出分布列即可.【小问1详解】记该同学前两道题答对道为事件,第三道答对为事件,第四道答对为事件,则.【小问2详解】的取值可能为0,5,10,15,20,,,,,,则的分布列为:05101520.

13该同学填空题得分的均值是12.5分.22.随着时代的不断发展,社会对高素质人才的需求不断扩大,我国本科毕业生中考研人数也不断攀升,2020年的考研人数是341万人,2021年考研人数是377万人.某中学数学兴趣小组统计了本省5所大学2022年的毕业生人数及考研人数(单位:千人),收集数据如下表所示.A大学B大学C大学D大学E大学2022年毕业人数(千人)765432022年考研人数(千人)2.52.31.81.91.5(1)利用最小二乘估计建立关于的线性回归方程;(2)该小组又利用上表数据建立了关于的线性回归方程,并把这两条拟合直线画在同一坐标系下,横坐标,纵坐标的意义与毕业人数和考研人数一致.请比较前者与后者的斜率与的大小.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)直接利用最小二乘法公式计算得,,继而得出,即可;(2)直接利用最小二乘法公式计算得,比较即可.【小问1详解】由题意得,,,又,

14∴,,所以关于的线性回归方程为.【小问2详解】设前者和后者的斜率分别为,由,得,由(1)知,∴.23.随着时代的不断发展,社会对高素质人才的需求不断扩大,我国本科毕业生中考研人数也不断攀升,2020年的考研人数是341万人,2021年考研人数是377万人.某中学数学兴趣小组统计了本省15所大学2022年的毕业生人数及考研人数(单位:千人),经计算得:,,,.(1)利用最小二乘估计建立关于的线性回归方程;(2)该小组又利用收集的数据建立了关于的线性回归方程,并把这两条拟合直线画在同一坐标系下,横坐标,纵坐标的意义与毕业人数和考研人数一致.①比较前者与后者的斜率与的大小;②求这两条直线公共点的坐标.附:关于的回归方程中,斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:,;

15相关系数:.【答案】(1)(2)①;②【解析】【分析】(1)根据公式直接计算可得回归方程;(2)利用两个斜率与相关系数的关系可判断斜率大小关系,根据回归直线过样本中心可得公共点坐标.【小问1详解】,,,,故回归方程为.【小问2详解】设前者和后者的斜率分别为,,,即①显然有,故,即前者斜率小于后者.②注意到,两直线都过,且,故公共点仅有.

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