上海市交通大学附属中学2022-2023学年高三下学期开学考试数学试题（原卷版）

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交大附中高三开学考数学试卷一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）1.正多面体按其面数分有___________种2.若，那么角α的终边与角β的终边___________3.若，，那么在方向上投影为___________4.已知集合，，若，则实数___________5.已知复数，，且纯虚数，则实数___________6.已知的展开式中第5项的系数与第3项的系数之比为56：3，则___________7.甲、乙、丙投篮一次命中的概率分别为、、，现三人各投篮一次，则至少有一人命中的概率为___________8.已知随机变量，且，则___________9.已知双曲线的两个焦点分别为、，该双曲线与抛物线有一个公共的焦点，且两曲线的一个公共点为P，，则的大小为___________（结果用反三角函数表示）10.已知，若区间是函数的一个单调减区间，最大值为___________11.设、、为空间中三条不同的直线，若与所成角为α，与所成角为β，其中，那么与所成角的取值范围为___________12.一个凸36面体中有24个面是三角形，12个面是四边形，则该多面体的对角线的条数是___________（连结不在凸多面体的同一个面内的两个凸面体的顶点的线段叫做凸多面体的对角线）二、选择题（本大题共4题，满分20分）13.对任意给定的实数a、b，有，且等号当且仅当（）时成立

1A.B.C.D.14.下列定理中，被称为幂的基本不等式的是（）A如果，且，那么B.对任意的实数a和b，总有，且等号当且仅当时成立C.对任意的正实数a和b，总有，且等号当且仅当时成立D.当，时，15.已知数列满足，，，是的前n项的和，则等于（）A.2bB.2aC.D.16.在1、2、3、4、5的所有排列、、、、中，满足条件，，，的排列个数是（）A.10B.12C.14D.16三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17.（1）判断：对于三个实数a、b、c，“”是“或”的条件（填“充要”、“充分非必要”、“必要非充分”、“既非充分也非必要”），并证明．（2）证明：是无理数．18.记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9=－a5．（1）若a3=4，求{an}的通项公式；（2）若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围．19.在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期.一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息，得到如下表格：潜伏期（单位：天）人数501502003002006040（1）求这1000名患者的潜伏期的样本平均数值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，结果四舍五入为整数）；

2（2）该传染病潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过8天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取200人，得到如下列联表，请将列联表补充完整，并根据列联表判断，能否在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为潜伏期与患者年龄有关；潜伏期8天潜伏期天总计50岁以上（含50）10050岁以下65总计200（3）以这1000名患者的潜伏期超过8天的频率，代替该地区1名患者潜伏期超过8天的概率，每名患者的潜伏期是否超过8天相互独立.为了深入研究，该研究团队随机调查了20名患者，其中潜伏期超过8天的人数最有可能（即概率最大）是多少？附：，其中.20.已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线的距离为．设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，其中为切点．(1)求抛物线的方程；(2)当点为直线上的定点时，求直线的方程；(3)当点在直线上移动时，求的最小值．21.已知．（1）若关于x的方程有解，求实数a的最小值；（2）证明不等式；

3（3）类比（2）中不等式证明方法，尝试证明：（，e为自然对数的底数）

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