江苏省南通市如东县2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题（word版，含答案）

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2020-2021学年度第一学期期末考试高二数学一､选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分｡在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.一物体做直线运动,其位移s与时间t的关系是则物体在t=2时的瞬时速度为A.4B.6C.8D.102.命题p:“”是命题q:“曲线表示双曲线”的A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件3.抛物线的焦点是直线x+4y-1=0与坐标轴的交点,则该抛物线的准线方程是B.x=-1D.y=-14.古代数学著作《九章算术》有如下问题:“今有女子善织,日自倍,五日五尺,问日织几何?”意思是:“女子善于织布,每天织的布都是前一天的2倍,已知她5天共织布5尺,问这名女子每天分别织布多少?”某数学兴趣小组依托某制造厂用织布机完全模拟上述情景,则从第一天开始,要使织布机织布的总尺数为165尺,则所需的天数为A.7B.8C.9D.105.若函数在区间(1,+∞)单调递增,则k的取值范围是B.[1,+∞)C.[2,+∞)D.(-∞,-2]6.已知m>0,xy>0,当x+y=2时,不等式恒成立,则m的取值范围是B.[1,+∞)C.(0,1]7.在公差不为0的等差数列{an}中,成公比为4的等比数列,则k3=A､84B.86C.88D.968.已知函数f(x)=lnx,若对任意的都有恒成立,则实数k的最大值是A.-1B.0C.1D.2二､选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分｡在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求｡全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分｡

19.如图是函数y=f(x)的导函数的图象,下列结论中正确的是A.f(x)在[-2,-1]上是增函数B.当x=3时,f(x)取得最小值C.当x=-1时,f(x)取得极小值D.f(x)在[-1,2]上是增函数,在[2,4]上是减函数10.等差数列中,是数列的前n项和,则B.S8是{Sn}中的最大项C.S9是{Sn}中的最小项D.|a8|<|a9|11.下列命题中是真命题的是的最小值为2B.当a>0,b>0时,C.若则a+b的最大值为2D.正数a,b满足a+b=2,则的最小值为12.已知是椭圆和双曲线的公共焦点,P是他们的一个公共点,且则以下结论正确的是的最小值为三､填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分｡不需写出解答过程,请把答案直接填写在答题卡相应位置上｡13.命题“不等式的解集为空集”是真命题,则实数a的取值范围是____.14.数列满足,则___.15.已知若对使得，则实数a的取值范围为___.

216.已知双曲线C:(a>0,b>0)的上､下焦点分别为过F1且垂直于y轴的直线与C交于A,B两点,直线分别交x轴于点C,D,若|CF2|+|DF2|=12,则过点的直线的斜率的最大值为_____.此时双曲线的离心率为____.四､解答题:本大题共6小题,共70分｡解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤｡17.(本小题满分10分)在①数列为递增的等比数列,且②数列满足③数列满足这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,再完成解答.问题:设数列的前n项和为_________.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设求数列的前n项和18.(本小题满分12分)已知椭圆和直线l:y=2x+m.(1)当椭圆C与直线l有公共点时,求实数m的取值范围;(2)设直线l与椭圆C相交于A,B两点,求|AB|的最大值.19.(本小题满分12分)已知等差数列的公差为正数.a=1,其前n项和为数列为等比数列,且(1)求数列{an}与的通项公式;(2)求数列的前n项和(3)设求数列的前2n项和.20.(本小题满分12分)

3如图,有一个半圆形场馆,政府计划改建为一个方舱医院,改建后的场馆由病床区(矩形ABCD)及左右两侧两个大小相同的休闲区(矩形AHLJ和BEFG)组成,其中半圆的圆心为O,半径为50米,矩形BEFG的一边BG在BC上,矩形AHLJ的一边AH在AD上,点C,D,F,I在圆周上,E,J在直径上,且设.若每平方米病床区的造价和休闲区造价分别为万元和万元,记病床区及休闲区的总造价为f(θ)(单位:万元).(1)求f(θ)的表达式;(2)为进行改建预算,当θ为何值时,总造价最大?并求出总造价的最大值.21.(本小题满分12分)已知椭圆,右顶点A(2,0),上顶点为B,左右焦点分别为且过点A作斜率为k(k≠0)的直线l交椭圆于点D,交y轴于点E.(1)求椭圆C的方程;(2)设P为AD的中点,过点E且与OP垂直的直线交OP于点G,判断直线EG是否过定点?若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明理由.22.(本小题满分12分)已知函数,其中a∈R.(1)若曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线的斜率为l,求a的值;(2)讨论函数f(x)的单调性;(3)若函数f(x)的导函数在区间(1,e)上存在零点,证明:当x∈(1,e)时,

42020～2021学年度第一学期期末考试高二数学参考答案一、单选题：1．【答案】B2．【答案】C3．【答案】A4．【答案】D5．【答案】C6．【答案】B7.【答案】B8．【答案】B  二、多选题9．【答案】CD10．【答案】AB11.【答案】BCD12．【答案】BD三、填空题：13．【答案】14．【答案】15．【答案】16．【答案】4，四、解答题：17.在①数列{an}为递增的等比数列，且a2+a3＝12，②数列{an}满足Sn+1﹣2Sn＝2，③数列{an}满足这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，再完成解答．问题：设数列{an}的前n项和为Sn，，_____．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn．解：（1）选①数列{an}为递增的等比数列，且a2+a3＝12，设等比数列{an}的公比为q，（q＞0），则a1q（1+q）＝2q（1+q）＝12，解得q＝2（﹣3舍去），………3分所以an＝2n；………………5分选②数列{an}满足Sn+1﹣2Sn＝2，可得Sn+1+2＝2（Sn+2），数列{Sn+2}是首项为S1+2＝4，公比为2的等比数列，则Sn+2＝2n+1，即为Sn＝2n+1﹣2，当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2n+1﹣2﹣2n+2＝2n，………………3分a1＝2也满足上式，所以an＝2n，n∈N*；………………5分

5选③2na1+2n﹣1a2+…+2an＝nan+1（1），当n≥2时，2n﹣1a1+2n﹣2a2+…+2an﹣1＝（n﹣1）an（2），由（2）×2﹣（1）可得2an＝nan+1﹣2（n﹣1）an，即an+1＝2an，又因为a1＝2，a2＝2a1＝4，也满足上式，………………3分故数列{an}为首项为2，公比为2的等比数列，所以an＝2n，n∈N*；………………5分（2）由（1）可得an＝2n，bn＝………………7分所以………………10分18.已知椭圆和直线.（1）当椭圆与直线有公共点时，求实数的取值范围；（2）设直线与椭圆相交于两点，求的最大值.解：（1）联立，得.因为椭圆与直线有公共点，所以，………………4分解得.所以实数的取值范围是，………………6分（2）设，结合（1）的方程，有，所以………………10分

6.………………12分有（1）知，若椭圆与直线有两个交点，则，所以.所以当时，取得最大值.19.已知等差数列{an}的公差为正数．a1＝1，其前n项和为Sn，数列{bn}为等比数列，b1＝2，且b2S2＝12，b2+S3＝10．（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；（2）求数列{an•bn}的前n项和Tn．（3）设，n∈N*，求数列的前2n项和．解：（1）设等差数列{an}的公差为d，则，等比数列{bn}的公比为q，因为a1＝1，b1＝2，且b2S2＝12，b2+S3＝10，可得2q（2+d）＝12，2q+3+3d＝10，解得q＝2，d＝1，………………2分则an＝1+n﹣1＝n，bn＝2n；………………4分（2）an•bn＝n•2n，前n项和Tn＝1•2+2•22+3•23+…+n•2n，2Tn＝1•22+2•23+3•24+…+n•2n+1，………………6分两式相减可得﹣Tn化简可得Tn＝2+（n﹣1）•2n+1；………………8分（3）由可得则前n项和………………10分

7则数列的前2n项和为．………………12分20.如图，有一个半圆形场馆，政府计划改建为一个方舱医院，改建后的场馆由病床区（矩形ABCD）及左右两侧两个大小相同的休闲区（矩形AHLJ和BEFG）组成，其中半圆的圆心为O，半径为50米，矩形BEFG的一边BG在BC上，矩形AHLJ的一边AH在AD上，点C，D，F，I在圆周上，E，J在直径上，且∠EOF＝，设∠BOC＝．若每平方米病床区的造价和休闲区造价分别为万元和万元，记病床区及休闲区的总造价为（单位：万元）．（1）求的表达式；（2）为进行改建预算，当为何值时，总造价最大？并求出总造价的最大值．解：（1）由题意半径为50米，显然R＝50，如图示，由图形可知：，在矩形ABCD中，BC＝Rsinθ，OB＝Rcosθ，所以游泳池面积为S矩形ABCD＝2OB•BC＝2R2sinθcosθ＝R2sin2θ．在矩形BEFG中，EF＝Rsin＝，BE＝Rcos﹣Rcosθ＝R（﹣cosθ），所以休息区面积为：2S矩形BEFG＝2BE•EF＝R2（﹣cosθ），由每平方米病床区的造价和休闲区造价分别为万元和万元，则f（θ）＝t•R2sin2θ+2t•R2（﹣cosθ）即f（θ）＝×502（sin2θ﹣2cosθ+）（＜θ＜）；…………6分（2）由（1）得＝125（2cos2θ+2sinθ）＝250（﹣2sin2θ+sinθ）＝﹣250（2sinθ﹣）（sinθ+1），∵θ∈（，），∴sinθ∈（，1），

8令＝0，解得sinθ＝，∵θ∈（，），∴θ＝，θ，，f（θ）的变化如下：θ（，）（，）+0﹣f（θ）递增极大值极小值故θ＝时，总造价f（θ）取极大值（1+2），即当θ＝时，总造价的最大值是(1+2）万．………………12分21.已知椭圆，右顶点，上顶点为B，左右焦点分别为，，且，过点A作斜率为的直线l交椭圆于点D，交y轴于点E.（1）求椭圆C的方程;（2）设P为AD的中点，过点E且与OP垂直的直线交OP于点G，判断直线是否过定点?若过定点，求出定点坐标;若不过定点，请说明理由.解：（1）由题意得：，因为在中，，所以，，，所以，所以，所以，，所以椭圆方程为.………………4分（2）设直线，*

9令，则，所以，将*代入，整理得，设，则，所以，，………………6分设，因为为的中点，所以，，所以，………………8分设直线过定点，则，则，，所以，即对任意的都成立，所以，所以，所以.所以直线过定点.………………12分22.已知函数f（x）＝alnx+x2﹣（a+2）x，其中a∈R．（1）若曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线的斜率为1，求a的值；（2）讨论函数f（x）的单调性；（3）若函数f（x）的导函数f′（x）在区间（1，e）上存在零点，证明：当x∈（1，e）时，f（x）＞﹣e2．解：（1）根据条件，

10则当x＝2时，，………………1分解得a＝2；………………2分（2）函数f（x）的定义域是（0，+∞），，………………3分①a≤0时，2x﹣a＞0，令＞0，解得：x＞1，令＜0，解得：0＜x＜1，故f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，②0＜a＜2时，令＞0，解得：x＞1或0＜x＜，令＜0，解得：＜x＜1，故f（x）在（0，）递增，在（，1）递减，在（1，+∞）递增，③a＝2时，≥0，f（x）在（0，+∞）递增，④a＞2时，令＞0，解得：x＞或0＜x＜1，令＜0，解得：1＜x＜，故f（x）在（0，1）递增，在（1，）递减，在（，+∞）递增；综上a≤0时，f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，………………6分0＜a＜2时，f（x）在（0，）递增，在（，1）递减，在（1，+∞）递增，a＝2时，f（x）在（0，+∞）递增，a＞2时，f（x）在（0，1）递增，在（1，）递减，在（，+∞）递增；（3）证明：因为，又因为导函数在（1，e）上存在零点，所以＝0在（1，e）上有解，则有1＜＜e，即2＜a＜2e，且当1＜x＜时，＜0，f（x）单调递减，当＜x＜e时，＞0，f（x）单调递增，所以f（x）≥f（）＝aln+﹣（a+2）＝alna﹣﹣（1+ln2）a，设g（x）＝xlnx﹣﹣（1+ln2）x，2＜x＜2e，

11则＝lnx+1﹣﹣（1+ln2）＝lnx﹣﹣ln2，则，所以在（2，2e）上单调递减，所以g（x）在（2，2e）上单调递减，则g（2e）＝2eln2e﹣e2﹣2e（1+ln2）＝﹣e2＜g（2），所以g（x）＞﹣e2，则根据不等式的传递性可得，当x∈（1，e）时，f（x）＞﹣e2．……………12分