费米—狄拉克统计

《费米—狄拉克统计》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

第十四章：费米—狄拉克统计，代表着最纯净的灵魂！这一章开始之前，前面的十五章可能什么都不能给你带来，但这一章开始之后，你就顿悟了。或者说对一个问题茅塞顿开了。这种喜悦很多科学家终身难忘。我相信你也会是这样的。当然你也可能在第十章的时候，对一个问题有顿悟。我从没有彻底的顿悟，但我时刻准备着。文字所组成的句子，复杂到可以描述宇宙。费米和狄拉克就是这样的科学家。今天走进他们，走进他们的科学世界。狄拉克可以说是最害羞，最特立独行的科学家之一。喜欢一个人做研究，不愿意代学生。原先，狄拉克希望研究一直以来感兴趣的相对论，然而在拉尔夫·福勒的指导下，狄拉克开始接触原子理论。福勒将原子理论中最新的概念如尼尔斯·玻尔等人的理论介绍给了狄拉克。对此狄拉克曾回忆到：“还记得我头一回看到玻尔的理论，我相当惊讶...让人惊奇的是在特定的条件下，我们居然能将牛顿定律用在原子里的电子。第一个条件是忽略电子辐射，第二则是放入量子条件。我仍记得很清楚，玻尔的理论当时给了我多大的震撼。我相信在发展量子力学上，玻尔引入的这个概念是最大的突破。”之后狄拉克也尝试着将玻尔的理论作延伸。1925年维尔纳·海森堡提出了着眼于可观察的物理量的理论，当中牵涉到矩阵相乘的不可交换性。狄拉克起初对此并不特别欣赏，然而约莫两个星期之后，他意识到当中的不可交换性带有重要的意义，并且发现了经典力学中泊松括号与海森堡提出的矩阵力学规则的相似之处。基于这项发现，他得出更明确的量子化规则（即正则量子化）。这份名为《量子力学》的论文发表于1926年，狄拉克也凭借这项工作获得博士学位。通过上面这一点，就可以说明狄拉克有很高科学敏感，对于不同寻常不看作是偶然，认为他们必有意义。这也是我一直所有章节中强调的。世界的确定，一切相似，定有渊源。同时埃尔温·薛定谔以物质波的波方程提出了自己的量子理论。狄拉克很快地发现到海森堡与薛定谔两人的理论是彼此互补的，并开始研究起薛定谔的波动力学。1926年9月，在福勒的建议之下，狄拉克前往位于哥本哈根的尼尔斯·玻尔研究所作了一段时间的研究。在哥本哈根的这段期间，狄拉克持续量子力学的研究，发展出了涵盖波动力学与矩阵力学的广义理论。这个方法与经典哈密顿力学理正则变换相类似，允许使用不同组的变量基底。此外，为了处理连续的变量，狄拉克引入了新的数学工具—狄拉克δ函数

1。狄拉克也开始研究辐射理论。在他的文章“吸收和放出辐射的量子理论”中，他运用二次量子化的技巧将波函数量子化，进一步将光子辐射与玻色-爱因斯坦统计连结起来。在这个方法中，粒子集合的量子态是以其粒子在各能态中的分布来表示，并以粒子的创造与消灭来对量子态作改变。狄拉克展示了两种方法是等价的，将电磁场以光子处理或将场作量子化。事实上，这个工作引发了新的物理课题—量子场论，而二次量子化则成为后来量子电动力学的基础。1927年2月狄拉克来到哥廷根，在此他待了几个月并结识了赫尔曼·外尔、马克斯·玻恩、罗伯特·奥本海默等人。二战期间，狄拉克投入研发同位素分离法以取得铀235。这在原子能的应用上是极关键的技术。狄拉克因创立有效的、新型式的原子理论而获得1933年的诺贝尔物理学奖。他发展了量子力学，提出了著名的狄拉克方程，并且从理论上预言了正电子的存在。狄拉克原来从事相对论动力学的研究，自从1925年海森伯访问剑桥大学以后，狄拉克深受影响，把精力转向量子力学的研究。1928年他把相对论引进了量子力学，建立了相对论形式的薛定谔方程，也就是著名的狄拉克方程。这一方程具有两个特点：一是满足相对论的所有要求，适用于运动速度无论多快电子；二是它能自动地导出电子有自旋的结论。这一方程的解很特别，既包括正能态，也包括负能态。狄拉克由此做出了存在正电子的预言，认为正电子是电子的一个镜像，它们具有严格相同的质量，但是电荷符号相反。狄拉克根据这个图象，还预料存在着一个电子和一个正电子互相湮灭放出光子的过程；相反，这个过程的逆过程，就是一个光子湮灭产生出一个电子和一个正电子的过程也是可能存在的。1932年，美国物理学家安德森在研究宇宙射线簇射中高能电子径迹的时候，奇怪地发现强磁场中有一半电子向一个方向偏转，另一半向相反方向偏转，经过仔细辨认，这就是狄拉克预言的正电子。后来很快又发现了γ射线产生电子对，正、负电子碰撞“湮灭”成光子等现象，全面印证了狄拉克预言的正确性。狄拉克的工作，开创了反粒子和反物质的理论和实验研究。狄拉克是量子辐射理论的创始人，曾经和费米各自独立发现了费米-狄拉克统计法。这个我们后面要讲。

2总结起来，狄拉克对物理学的主要贡献是：1、给出描述相对论性费米粒子的量子力学方程（狄拉克方程），给出反粒子解。2、预言磁单极3、费米—狄拉克统计理论。4、在量子场论尤其是量子电动力学方面也作出了奠基性的工作。在引力论和引力量子化方面也有杰出的工作。他的学生约翰·波罗金侯恩曾回忆道：“有次他被问到对于物理的核心信念，他走向黑板并写下‘自然的法则应该用优美的方程去描述’”对于狄拉克，玻尔对他影响很大。但玻尔曾说：“在所有的物理学家中，狄拉克拥有最纯洁的灵魂。”马克斯·玻恩曾回忆到他第一次看狄拉克的文章：“我记得非常清楚，这是我一生的研究经历中最大的惊奇之一。我完全不知道狄拉克是谁，可以推测大概是个年轻人，然而其文章每个部分都相当完美且可敬。”左图为：费米物理学家杨振宁在1991年发表《对称的物理学》一文，提到他对狄拉克的看法：“在量子物理学中，对称概念的存在，我曾把狄拉克这一大胆的、独创性的预言比之为复数的首次引入，复数的引入扩大改善了我们对于整数的理解，它为整个数学奠定了基础，狄拉克的预言扩大了我们对于场论的理解，奠定了量子电动场论的基础。”杨振宁曾提到狄拉克的文章给人“秋水文章不染尘”的感受，没有任何渣滓，直达深处，直达宇宙的奥秘。可见狄拉克的学术严谨，品德高尚。在生活中狄拉克也是这么做的。他重视学术上的追求，在物质生活上毫无享受，他不喝酒，不抽烟，只喝水。喜欢走路和游泳，偶而也会和朋友去电影院看电影。此外，狄拉克是出了名的精确与沉默寡言。他在剑桥大学的同事曾经开玩笑地定义了“一个小时说一个字”为一个“狄拉克”单位。尼尔斯·

3玻尔写作论文的方式是自己口述，请别人纪录下来。有一回玻尔不断地说了又改，抱怨说不知该如何完成一篇文章的某个句子，当时正好在场的狄拉克如此说到：“我以前在学校时被这么教导，在还不知道如何结束一个句子前，不要动笔。”另外关于狄拉克的宗教观点，海森堡搜集了的1927年索尔维会议中一群年轻学者的对话，内容是讨论爱因斯坦和普朗克对宗教的观点。泡利、海森堡与狄拉克皆参与其中。狄拉克批评了宗教上的政治意图，而玻尔则赞许了其光明面。对于其他的部分，狄拉克有这样的意见：“我不能理解我们为何闲着没事要讨论宗教。如果我们抱持科学家该有的诚实态度，那必须承认宗教混杂着虚假的断言，没有真实的基础。上帝的概念不过是人类幻想的产物。对于那些暴露在自然力量下的原始人类，不难理解他们会将这些恐惧与害怕拟人化。然而如今我们已经了解了这么多自然现象，我们不再需要如此看待自然万物。我一直都不明白，假设一个全知全能的上帝对我们到底有什么好处。这个假设导致了无数的问题，例如为何上帝容许苦难和不公正、富人对穷人的剥削利用以及各种他该为我们消弭的恐怖。如果宗教仍持续被教导，那绝不是因为这些思想说服了我们，而是因为有部分人士希望底下的人们保持沉默。比起吵闹与不满的群众，那些沉默的大众更容易统治，同时也更容易剥削。宗教正是一种鸦片，使民族麻痹而沉浸于一厢情愿的梦想，忘却了不公不义。也因此国家与教会一直是密切的联盟。双方都需要这种错觉，一位好心的神将会（如果不在人世就会在天堂）奖励那些不对抗不公义、毫无怨言默默完成工作的人们。这也是为何，把神视作一种幻想的这种想法总是被当作人类最大的罪过。”海森堡对此接受各种意见。泡利作为一名天主教徒，从话题一开始便一直保持沉默，然而在被问及意见时他说到：“看来我们的好友狄拉克抱持一种信仰，而其指导原则是‘上帝不存在，而狄拉克是他的先知’”所有人包括狄拉克都大笑了起来。接着我们来说说这位天才的其中之一费米—狄拉克统计理论。之所以叫费米—狄拉克统计。是因为费米和狄拉克分别独立的发展了这个理论。所以以他们两个人的名字命名。费米-狄拉克统计，有时也简称费米统计、FD统计，在统计力学中用来描述由大量满足泡利不相容原理的费米子组成的系统中，粒子处在不同量子态上的统计规律。这个统计规律的命名来源于恩里科·费米和保罗·狄拉克，他们分别独立地发现了这一统计规律。不过费米在数据定义比狄拉克稍早。费米–狄拉克统计的适用对象是，热平衡时自旋量子数为半奇数的粒子。除此之外，应用此统计规律的前提是——系统中各粒子之间的相互作用可以忽略不计。这样，就可以用粒子在不同定态的分布状况来描述大量微观粒子组成的宏观系统。不同的粒子分处于不同的能态上，这一特点对系统许多性质会产生影响。费米–狄拉克统计适用于自旋量子数为半奇数的粒子，这些粒子也被称为费米子

4。由于电子的自旋量子数为1/2，因此它是费米–狄拉克统计最普遍的应用对象。费米–狄拉克统计是统计力学的重要组成部分，它利用了量子力学的一些原理。根据量子力学，费米子为自旋为半奇数的粒子，其本征波函数反对称，在费米子的某一个能级上，最多只能容纳一个粒子。因而符合费米–狄拉克统计分布的粒子，当他们处于某一分布时（“某一分布”指这样一种状态：即在能量为{\displaystyle\left\{\epsilon_{j}\right\}}的能级上不能同时有{\displaystylen_{j}}个粒子存在着，不难想象，当从宏观观察体系能量一定的时候，从微观角度观察体系可能有很多种不同的分布状态，而且在这些不同的分布状态中，总有一些状态出现的几率特别的大，而其中出现几率最大的分布状态被称为最可几分布）时，体系总状态数为：1926年发现费米–狄拉克统计之前，要理解电子的某些性质较为困难。例如，在常温下，未施加电流的金属内部的热容比施加电流的金属少了大约100倍。此外，在常温下给金属施加一强电场，将造成场致电子发射现象，从而产生电流流经金属。研究发现，这个电流与温度几乎无关。当时的理论难以解释这个现象。当时，由于人们主要根据的是经典静电学理论，因此在诸如金属电子理论等方面遇到的困难，无法得到令人满意的解答。他们认为，金属中所有电子都是等效的。也就是说，金属中的每个电子都以相同的程度对金属的热量做出贡献（这个量是波尔兹曼常数的一次项）。上述问题一直困扰着科学家，直到费米–狄拉克统计的发现，才得到较好地解释。

5前面的章节叙述了给定费米子系统在不同量子态上的分布，一个量子态上最多只能具有一个费米子。利用费米–狄拉克统计，还可以获得费米子系统不同能量值上的分布情况，这与分析量子态的原理略有不同，因为可能出现多个定态具有同一能量值，即出现所谓的简并能量态情况。如果经典范畴中涉及的位移、动量之间的关系还远未达到不确定性原理所设定的极限，通常可以采用麦克斯韦-玻尔兹曼统计来代替费米–狄拉克统计，这样做可以简化数学计算的难度。如果粒子平均间距R{\displaystyle{\bar{R}}}rR远大于粒子的平均物质波波长。{\displaystyle{\bar{\lambda}}}就可以采用上述经典范畴的处理方式。1926年，拉尔夫·福勒在描述恒星向白矮星的转变过程中，首次应用了费米–狄拉克统计的原理。由恒星演变而来的白矮星，是另一个不属于经典范畴、必须采用费米–狄拉克统计的例子。尽管白矮星的温度很高（其表面温度通常能达到10,000开尔文），但是它内部高度聚集的电子和每个电子的低质量，使得处理这问题必须采用费米–狄拉克统计，而不能用经典的波尔兹曼统计近似处理。1927年，阿诺·索末菲将费米–狄拉克统计应用到他对于金属电子的研究中。对于常温（约300开尔文）下金属中的电子，由于R远小于物质波的波长{\displaystyle{\bar{R}}\approx{\bar{\lambda}}/25}，因此该系统远离经典范畴。这是因为电子质量较小，并且在金属中聚集程度较高。这样，为了分析金属中的传导电子，必须采用费米–狄拉克统计。1928年，福勒和L·W·诺德汉在场致电子发射的研究中，也采用了这一统计规律。直至今日，费米–狄拉克统计仍然是物理学的一个重要部分。在上一章中，我们提到了麦克斯韦-玻尔兹曼统计和玻色—爱因斯坦统计。那么这两个统计和现在讲的费米—狄拉克统计有什么不同和区别呢？麦克斯韦-玻尔兹曼统计的粒子是可分辨的，它的应用还属于经典物理范围。比如气体，水分子运动。费米-狄拉克统计的粒子是费米子,最常运用在电子统计方面。该统计要求每个能量状态只可能占据一个粒子。所以会构成“层级”。我们通常说费米子是构成物质的材料。玻色子是维持这些费米子的组成的中介。波色-爱因斯坦统计粒子不可分别,但是每个状态可以被占据的粒子数没有限制。这就是它们的不同和区别。我知道上面所有的内容，还是有太多专有名词，科普学习还是太难，公式更是会让大家一头雾水。我再给大家举一个简单通俗的例子，来说明它们之间的不同和区别。就好像一座大楼。

6你要描述这座大楼的整体性质，比如说温度性质。你就要考虑组成大楼物质所有成分的运动状态。这时候你要用麦克斯韦-玻尔兹曼统计来描述。就像你要描述水温，你要考虑水分子的运动情况，运动越剧烈，水温越高。大楼的主要材料是砖头【费米子】，要描述砖头的运动和排列情况，就需要用费米—狄拉克统计。而使得砖头【费米子】粘合的水泥沙子就可以看做是玻色子。所以玻色子可以出现在任何地方。同一能量级态容许多个玻色子存在。这是我能想到的让大家好理解的通俗案例。比较粗俗，希望可以帮助大家理解。这一章和上一章反复出现了不确定性原理。所以下一章会为大家介绍不确定性原理。晚安，各位。生命在于运动，更在于探索！生命在于运动，更在于探索。——灵遁者摘自独立学者，作家，艺术家灵遁者量子力学科普《见微知著》