狄拉克场和费米子.doc

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§3.4狄拉克场和费米子1.经典场。狄拉克场的拉格朗日密度为：（1）正则坐标为，相应的正则动量为：（2）由于中不含有的导数，所以不是正则坐标。狄拉克场的能量，动量，守恒荷（3）（4）（5）2.量子化把与看作算符，满足一定的对易关系。与克莱因-戈登场不同，克莱因-戈登场描述的是自旋为零的玻色子，而狄拉克场描述的是自旋为的费米子，遵从泡利不相容原理，即同一个量子态只允许有一个粒子。如果将与的对易关系取成与克莱因-戈登场相同的形式，即（6）则将有态存在，即n个具有相同能量与动量的费米子处于同一量子态，这是不允许的。因此狄拉克场的量子化不能按照（6）式进行，而应另想办法。该办法就是将与取成如下对易关系，（7）与（6）式的差别仅在于将对易子换成反对易子。这差别是唯一的，也是基本的和十分重要的。由此引出的值次 是大不相同的。由于（3）式的场能量算符包含两个3费米算符的乘积，相当于一个玻色算符，故算符运动方程保持不变，即：，（8）将H的表达式（3）代入上式得：利用公式：则上式可以写成：因此得：亦即：（9）这就是人们熟知的狄拉克方程，它现在是算符运动方程。3.一般解由第一章的讨论我们知道，狄拉克方程（9）有正能解与负能解，，（10）其一般解由其叠加而成，即（11）式中，是能量为E，动量为，自旋为s的旋量波函数，是能量为-E，动量为-，自旋为s的波函数。，，，是展开系数，是算符。利用，的正交归一化关系（12） 以及平面波的正交归一化关系：由（11）式可以推出（13）例如，将的展开式（11）代入（13）式第一式得：4．动量、自旋函数算符由此可见，量子化的狄拉克场，既可以用时空函数算符，描述，亦可用动量，自旋函数算符，，及描述。它们之间由（11）与（13）式相联系。时空函数算符，满足对易关系（7）式，由该对易关系，我们可以得到动量函数算符，，，满足如下对易关系：（14）其余算符都反对易。 例如由（13）式得：又：=0将（11）式代入狄拉克场的能量，动量，守恒荷表达式（3），（4），（5）表达式得： （15）例如： 将算符换成动量算符，亦即在上述计算中，将E换成，其结果就是场的动量算符表达式。在上面的计算中，去掉算符，即在最后结果中去掉E，并将第二项的“-”号变成“+”，就可以得到守恒荷的动量算符表达式。（注意是对所有正，反粒子的电荷求和，应为零）5.粒子性在场的能量，动量，守恒荷的表达式中，描述场的基本算符，，，以组合（16）的形式出现，根据对易关系（14）可以证明（17）例如：在N和的对角表象中，令，则，故=0，1 ，故=0，1即N或的本征值只有两个，一个为0，另一个为1.又同理：由此可见，，，是粒子的消灭算符，产生算符及粒子数算符。而，，是反粒子的消灭算符，产生算符与粒子数算符等。正，反粒子的差别仅在于它们的守恒荷差了一个符号。§3.5库仑规范的电磁场和光子用电磁势描述的电磁场，要在一定的规范条件下才会有意义，但规范条件却带来了量子化的困难，因此，电磁场的量子化是比较困难的。这里，我们先讨论库仑规范条件下电磁场的量子化。1.经典场。电磁场的拉格朗日密度为（1）在库仑规范条件，（2）的条件下，该拉格朗日密度可以写成（§2.3，14’式）（3）由此可见，可以看成是正则坐标，而正则动量为：（4）则场的能量，动量为： （5）（6）2.量子化将正则坐标和正则动量看作算符，满足正则对易关系。（7）就完成了量子化手续。这是前面几节行之有效的方法。可是在这里却行不通，因为对上面第一式求导可得：亦即：由于库仑规范条件，故上式成为：（8）这显然是错误的。之所以出现这样的问题，是由于三对正则坐标，正则动量（i=1，2，3）中，因规范条件的限制，只有两对是独立的。上述的量子化方法，对独立的正则坐标和正则动量是正确的，对非独立的正则坐标的正则动量就需要修改。为此我们将它们用两对独立的正则变量作展开。（9）其中，=1，2是§1.5节引入的横极化矢量，，显然满足库仑规范条件 （10）所以，（=1，2）与，相应，就是两对独立的正则算符，满足对易关系（11）由（9）与（11）两式可以导出正则变量，满足对易关系，（12）例如：这里，在倒数第二行，用到了或（14） 其中是相空间的大小，是相格的体积，就是相格数，对相格的求和，在连续情况下就成为对相空间的积分。容易证明，（12）式所表示的对易关系，满足库仑规范的条件，因为：左边0右边==0故对易关系（12）与库仑规范条件不矛盾。象通常一样，正则坐标与正则动量满足正则运动方程。（15）将H的（5）式表达式代入上式得：亦即：或：（16）这就是算符的波动方程。即为库仑规范下的势满足的方程。3.一般解（16）式是关于的线性齐次方程，其解为如§1.5（31）式所示的平面波解（=1，2，3）由其叠加，可得（16）式的一般解为： （17）其中极化矢量满足如§1.5节（20）（23）（24）式正交归一关系。（18）平面波因子（19）满足如§3.2节（12）式所示的正交关系（20）由此不难推得：（21）4.动量，极化函数算符如前所述，量子化的电磁场可以用时空函数算符，描述，亦可用动量，极化函数算符，表示。它们之间通过（17）与（21）式相联系，时空函数算符，满足对易关系（12）式，由它们可导出动量，极化函数算符，满足对易关系（22）例如： 由于，故上式又，故将（17）式代入（5）式得： 对于光子：，故上式亦即（23）又 上式中第一中括号部分，若，，如图所示。当时，由于求和包括与项，而第一中括号中的项对于与相等，故求和为零。这样由于故亦即：（24）5.光子描述量子化电磁场的动量、极化函数算符，满足对易关系（22），并且以的形式出现在哈米顿与动量算符H，中，所以，与克莱因-戈登场的情况相似，我们称，，为光子的消灭算符，产生算符，光子数算符。光子的能量为，动量为，极化为，即光子只有横向极化。