费米-狄拉克分布函数、解析、图像和应用

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1、各能级被电子占据的数目服从特定的统计规律这个规律就是费米-狄拉克分布规律。费米分布规律不适用于非平衡状态一般而言，电子占据各个能级的几率是不等的。占据低能级的电子多而占据高能级的电子少。统计物理学指出，电子占据能级的几率遵循费米的统计规律：在热平衡状态下，能量为E的能级被一个电子占据的几率为：f(E)称为电子的费米(费米-狄拉克)分布函数，k、T分别为波耳兹曼常数和绝对温度。Efermi称为费米能级，它与物质的特性有关。只要知道了费米能级Efermi的数值，在一定温度下，电子在各量子态上的统计分布就完全确定了。费米分布函数的一些特性:【根据f(E)公式来理解】第一，费米能级Efermi

2、是一种用来描述电子的能级填充水平的假想能级，Ef越大，表示处于高能级的电子越多；Ef越小，则表示高能级的电子越少。(Ef反映了整体平均水平)在T不为绝对零度前提下，若E＜Ef，则f(E)＞1/2；若E=Ef，则f(E)=1/2；若E＞Ef，则f(E)＜1/2。上述结果文字描述，在系统的温度高于绝对零度前提下，如果某能级的能量比费米能级低Ef，则该能级(范围)被电子占据的几率大于50%；若能级的能量比费米能级Ef高，则该能级被电子占据的几率小于50%。而当能级的能量恰等于费米能级Ef时，该能级被电子占有的几率恰等于50%。01/21f(E)EEfT0T1T2T3费米分布函数变化曲线T3>

3、T2>T1>T0第二，假定费米能级Ef为已知，则f(E)是能量E与温度T的函数。根据f(E)式可画出f(E)的曲线如图所示，但要注意因变量f(E)不像普通习惯画在纵轴，而是破天荒的画在横轴。随着温度的升高，能量略低于Ef的量子态被电子占据的概率降低，而略高于Ef的量子态被电子占据的概率增大。在一定温度下(温度不变)，费米能级附近的部分能量小于Ef的电子会被激发到Ef以上，温度越高，被激发的概率越大。第三，费米能级Ef在能级图中的位置与材料掺杂情况有关。对于本征半导体，Ef处于禁带Eg的中央，在绝对零度时，在导带Ec中E＞Ef，f(E)=0；在价带Ev中E＜Ef，f(E)==1，表明电子

4、全部处于价带Ev之中，因而此时半导体是完全不导电的。第四，在T=0K处于绝对零度的前提下，若E＜Ef，exp→0,则f(E)=1；当T=0K时，若E＞Ef，则f(E)=0。可见，在绝对零度时，能量比Ef小的能级被电子占据的几率是100%，而能量比Ef大的能级被电子占据的几率为零。即所有低于Ef的能级都被占满，而所有高于Ef的能级都空着。因而费米能级Ef是在绝对零度时电子所具有的最大能量，是能级在绝对零度时能否被占据的一个界限，因而它是一个很重要的参数。第五，在T≠0K时即不处于绝对零度的前提下，若E-Ef＞5kT，则f(E)＜0.007；在T≠0K前提下，若E-Ef＜-5kT，则f(E

5、)＞0.993。(k、T分别为波耳兹曼常数和绝对温度)可见，温度T高于绝对零度的前提下，能量比Ef高5kT的能态被电子占据的几率只有0.7%，几率很小，能级几乎是空的；而能级比Ef低5kT的能态被电子占据的几率是99.3%，几率很大，该能级范围几乎总有电子。一般可以认为，在T不为绝对零度但也不很高时，能量小于Ef的能态基本上为电子所占据，能量大于Ef的能态基本上没有被电子占据；而电子占据费米能级Ef这个能级的概率是(不论任何温度下)都是1/2。所以费米能级Ef的位置，比较直观地标志了电子占据能态的情况，或者说Ef标志了电子填充能级的水平，费米能级Ef高说明在较高的能态上有电子(反映整体

6、平均水平)。